135,555 555 555 555 555 555 555 824 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 135,555 555 555 555 555 555 555 824(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
135,555 555 555 555 555 555 555 824(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 135.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 135 : 2 = 67 + 1;
  • 67 : 2 = 33 + 1;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

135(10) =

1000 0111(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,555 555 555 555 555 555 555 824.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,555 555 555 555 555 555 555 824 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 111 111 648;
  • 2) 0,111 111 111 111 111 111 111 648 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 223 296;
  • 3) 0,222 222 222 222 222 222 223 296 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 446 592;
  • 4) 0,444 444 444 444 444 444 446 592 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 888 893 184;
  • 5) 0,888 888 888 888 888 888 893 184 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 777 786 368;
  • 6) 0,777 777 777 777 777 777 786 368 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 555 572 736;
  • 7) 0,555 555 555 555 555 555 572 736 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 111 145 472;
  • 8) 0,111 111 111 111 111 111 145 472 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 222 290 944;
  • 9) 0,222 222 222 222 222 222 290 944 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 444 581 888;
  • 10) 0,444 444 444 444 444 444 581 888 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 889 163 776;
  • 11) 0,888 888 888 888 888 889 163 776 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 778 327 552;
  • 12) 0,777 777 777 777 777 778 327 552 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 556 655 104;
  • 13) 0,555 555 555 555 555 556 655 104 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 113 310 208;
  • 14) 0,111 111 111 111 111 113 310 208 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 226 620 416;
  • 15) 0,222 222 222 222 222 226 620 416 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 444 453 240 832;
  • 16) 0,444 444 444 444 444 453 240 832 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 888 906 481 664;
  • 17) 0,888 888 888 888 888 906 481 664 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 777 812 963 328;
  • 18) 0,777 777 777 777 777 812 963 328 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 625 926 656;
  • 19) 0,555 555 555 555 555 625 926 656 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 251 853 312;
  • 20) 0,111 111 111 111 111 251 853 312 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 503 706 624;
  • 21) 0,222 222 222 222 222 503 706 624 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 445 007 413 248;
  • 22) 0,444 444 444 444 445 007 413 248 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 890 014 826 496;
  • 23) 0,888 888 888 888 890 014 826 496 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 780 029 652 992;
  • 24) 0,777 777 777 777 780 029 652 992 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 560 059 305 984;
  • 25) 0,555 555 555 555 560 059 305 984 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 120 118 611 968;
  • 26) 0,111 111 111 111 120 118 611 968 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 240 237 223 936;
  • 27) 0,222 222 222 222 240 237 223 936 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 480 474 447 872;
  • 28) 0,444 444 444 444 480 474 447 872 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 960 948 895 744;
  • 29) 0,888 888 888 888 960 948 895 744 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 921 897 791 488;
  • 30) 0,777 777 777 777 921 897 791 488 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 843 795 582 976;
  • 31) 0,555 555 555 555 843 795 582 976 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 687 591 165 952;
  • 32) 0,111 111 111 111 687 591 165 952 × 2 = 0 + 0,222 222 222 223 375 182 331 904;
  • 33) 0,222 222 222 223 375 182 331 904 × 2 = 0 + 0,444 444 444 446 750 364 663 808;
  • 34) 0,444 444 444 446 750 364 663 808 × 2 = 0 + 0,888 888 888 893 500 729 327 616;
  • 35) 0,888 888 888 893 500 729 327 616 × 2 = 1 + 0,777 777 777 787 001 458 655 232;
  • 36) 0,777 777 777 787 001 458 655 232 × 2 = 1 + 0,555 555 555 574 002 917 310 464;
  • 37) 0,555 555 555 574 002 917 310 464 × 2 = 1 + 0,111 111 111 148 005 834 620 928;
  • 38) 0,111 111 111 148 005 834 620 928 × 2 = 0 + 0,222 222 222 296 011 669 241 856;
  • 39) 0,222 222 222 296 011 669 241 856 × 2 = 0 + 0,444 444 444 592 023 338 483 712;
  • 40) 0,444 444 444 592 023 338 483 712 × 2 = 0 + 0,888 888 889 184 046 676 967 424;
  • 41) 0,888 888 889 184 046 676 967 424 × 2 = 1 + 0,777 777 778 368 093 353 934 848;
  • 42) 0,777 777 778 368 093 353 934 848 × 2 = 1 + 0,555 555 556 736 186 707 869 696;
  • 43) 0,555 555 556 736 186 707 869 696 × 2 = 1 + 0,111 111 113 472 373 415 739 392;
  • 44) 0,111 111 113 472 373 415 739 392 × 2 = 0 + 0,222 222 226 944 746 831 478 784;
  • 45) 0,222 222 226 944 746 831 478 784 × 2 = 0 + 0,444 444 453 889 493 662 957 568;
  • 46) 0,444 444 453 889 493 662 957 568 × 2 = 0 + 0,888 888 907 778 987 325 915 136;
  • 47) 0,888 888 907 778 987 325 915 136 × 2 = 1 + 0,777 777 815 557 974 651 830 272;
  • 48) 0,777 777 815 557 974 651 830 272 × 2 = 1 + 0,555 555 631 115 949 303 660 544;
  • 49) 0,555 555 631 115 949 303 660 544 × 2 = 1 + 0,111 111 262 231 898 607 321 088;
  • 50) 0,111 111 262 231 898 607 321 088 × 2 = 0 + 0,222 222 524 463 797 214 642 176;
  • 51) 0,222 222 524 463 797 214 642 176 × 2 = 0 + 0,444 445 048 927 594 429 284 352;
  • 52) 0,444 445 048 927 594 429 284 352 × 2 = 0 + 0,888 890 097 855 188 858 568 704;
  • 53) 0,888 890 097 855 188 858 568 704 × 2 = 1 + 0,777 780 195 710 377 717 137 408;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,555 555 555 555 555 555 555 824(10) =

0,1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

135,555 555 555 555 555 555 555 824(10) =

1000 0111,1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


135,555 555 555 555 555 555 555 824(10) =

1000 0111,1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1(2) =

1000 0111,1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1(2) × 20 =

1,0000 1111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001(2) × 27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 7

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

7 + 2(11-1) - 1 =

(7 + 1 023)(10) =

1 030(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 030 : 2 = 515 + 0;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1030(10) =

100 0000 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 =

0000 1111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0110

Mantisă (52 biți) =
0000 1111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100


Numărul zecimal 135,555 555 555 555 555 555 555 824 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0110 - 0000 1111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100

» Scriere 135,555 555 555 555 555 555 555 753 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100