14 897,799 651 565 176 065 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 14 897,799 651 565 176 065(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
14 897,799 651 565 176 065(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 14 897.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 14 897 : 2 = 7 448 + 1;
  • 7 448 : 2 = 3 724 + 0;
  • 3 724 : 2 = 1 862 + 0;
  • 1 862 : 2 = 931 + 0;
  • 931 : 2 = 465 + 1;
  • 465 : 2 = 232 + 1;
  • 232 : 2 = 116 + 0;
  • 116 : 2 = 58 + 0;
  • 58 : 2 = 29 + 0;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

14 897(10) =

11 1010 0011 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,799 651 565 176 065.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,799 651 565 176 065 × 2 = 1 + 0,599 303 130 352 13;
  • 2) 0,599 303 130 352 13 × 2 = 1 + 0,198 606 260 704 26;
  • 3) 0,198 606 260 704 26 × 2 = 0 + 0,397 212 521 408 52;
  • 4) 0,397 212 521 408 52 × 2 = 0 + 0,794 425 042 817 04;
  • 5) 0,794 425 042 817 04 × 2 = 1 + 0,588 850 085 634 08;
  • 6) 0,588 850 085 634 08 × 2 = 1 + 0,177 700 171 268 16;
  • 7) 0,177 700 171 268 16 × 2 = 0 + 0,355 400 342 536 32;
  • 8) 0,355 400 342 536 32 × 2 = 0 + 0,710 800 685 072 64;
  • 9) 0,710 800 685 072 64 × 2 = 1 + 0,421 601 370 145 28;
  • 10) 0,421 601 370 145 28 × 2 = 0 + 0,843 202 740 290 56;
  • 11) 0,843 202 740 290 56 × 2 = 1 + 0,686 405 480 581 12;
  • 12) 0,686 405 480 581 12 × 2 = 1 + 0,372 810 961 162 24;
  • 13) 0,372 810 961 162 24 × 2 = 0 + 0,745 621 922 324 48;
  • 14) 0,745 621 922 324 48 × 2 = 1 + 0,491 243 844 648 96;
  • 15) 0,491 243 844 648 96 × 2 = 0 + 0,982 487 689 297 92;
  • 16) 0,982 487 689 297 92 × 2 = 1 + 0,964 975 378 595 84;
  • 17) 0,964 975 378 595 84 × 2 = 1 + 0,929 950 757 191 68;
  • 18) 0,929 950 757 191 68 × 2 = 1 + 0,859 901 514 383 36;
  • 19) 0,859 901 514 383 36 × 2 = 1 + 0,719 803 028 766 72;
  • 20) 0,719 803 028 766 72 × 2 = 1 + 0,439 606 057 533 44;
  • 21) 0,439 606 057 533 44 × 2 = 0 + 0,879 212 115 066 88;
  • 22) 0,879 212 115 066 88 × 2 = 1 + 0,758 424 230 133 76;
  • 23) 0,758 424 230 133 76 × 2 = 1 + 0,516 848 460 267 52;
  • 24) 0,516 848 460 267 52 × 2 = 1 + 0,033 696 920 535 04;
  • 25) 0,033 696 920 535 04 × 2 = 0 + 0,067 393 841 070 08;
  • 26) 0,067 393 841 070 08 × 2 = 0 + 0,134 787 682 140 16;
  • 27) 0,134 787 682 140 16 × 2 = 0 + 0,269 575 364 280 32;
  • 28) 0,269 575 364 280 32 × 2 = 0 + 0,539 150 728 560 64;
  • 29) 0,539 150 728 560 64 × 2 = 1 + 0,078 301 457 121 28;
  • 30) 0,078 301 457 121 28 × 2 = 0 + 0,156 602 914 242 56;
  • 31) 0,156 602 914 242 56 × 2 = 0 + 0,313 205 828 485 12;
  • 32) 0,313 205 828 485 12 × 2 = 0 + 0,626 411 656 970 24;
  • 33) 0,626 411 656 970 24 × 2 = 1 + 0,252 823 313 940 48;
  • 34) 0,252 823 313 940 48 × 2 = 0 + 0,505 646 627 880 96;
  • 35) 0,505 646 627 880 96 × 2 = 1 + 0,011 293 255 761 92;
  • 36) 0,011 293 255 761 92 × 2 = 0 + 0,022 586 511 523 84;
  • 37) 0,022 586 511 523 84 × 2 = 0 + 0,045 173 023 047 68;
  • 38) 0,045 173 023 047 68 × 2 = 0 + 0,090 346 046 095 36;
  • 39) 0,090 346 046 095 36 × 2 = 0 + 0,180 692 092 190 72;
  • 40) 0,180 692 092 190 72 × 2 = 0 + 0,361 384 184 381 44;
  • 41) 0,361 384 184 381 44 × 2 = 0 + 0,722 768 368 762 88;
  • 42) 0,722 768 368 762 88 × 2 = 1 + 0,445 536 737 525 76;
  • 43) 0,445 536 737 525 76 × 2 = 0 + 0,891 073 475 051 52;
  • 44) 0,891 073 475 051 52 × 2 = 1 + 0,782 146 950 103 04;
  • 45) 0,782 146 950 103 04 × 2 = 1 + 0,564 293 900 206 08;
  • 46) 0,564 293 900 206 08 × 2 = 1 + 0,128 587 800 412 16;
  • 47) 0,128 587 800 412 16 × 2 = 0 + 0,257 175 600 824 32;
  • 48) 0,257 175 600 824 32 × 2 = 0 + 0,514 351 201 648 64;
  • 49) 0,514 351 201 648 64 × 2 = 1 + 0,028 702 403 297 28;
  • 50) 0,028 702 403 297 28 × 2 = 0 + 0,057 404 806 594 56;
  • 51) 0,057 404 806 594 56 × 2 = 0 + 0,114 809 613 189 12;
  • 52) 0,114 809 613 189 12 × 2 = 0 + 0,229 619 226 378 24;
  • 53) 0,229 619 226 378 24 × 2 = 0 + 0,459 238 452 756 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,799 651 565 176 065(10) =

0,1100 1100 1011 0101 1111 0111 0000 1000 1010 0000 0101 1100 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

14 897,799 651 565 176 065(10) =

11 1010 0011 0001,1100 1100 1011 0101 1111 0111 0000 1000 1010 0000 0101 1100 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


14 897,799 651 565 176 065(10) =

11 1010 0011 0001,1100 1100 1011 0101 1111 0111 0000 1000 1010 0000 0101 1100 1000 0(2) =

11 1010 0011 0001,1100 1100 1011 0101 1111 0111 0000 1000 1010 0000 0101 1100 1000 0(2) × 20 =

1,1101 0001 1000 1110 0110 0101 1010 1111 1011 1000 0100 0101 0000 0010 1110 0100 00(2) × 213


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 13

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 0001 1000 1110 0110 0101 1010 1111 1011 1000 0100 0101 0000 0010 1110 0100 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

13 + 2(11-1) - 1 =

(13 + 1 023)(10) =

1 036(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 036 : 2 = 518 + 0;
  • 518 : 2 = 259 + 0;
  • 259 : 2 = 129 + 1;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1036(10) =

100 0000 1100(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1101 0001 1000 1110 0110 0101 1010 1111 1011 1000 0100 0101 0000 00 1011 1001 0000 =

1101 0001 1000 1110 0110 0101 1010 1111 1011 1000 0100 0101 0000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1100

Mantisă (52 biți) =
1101 0001 1000 1110 0110 0101 1010 1111 1011 1000 0100 0101 0000


Numărul zecimal 14 897,799 651 565 176 065 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1100 - 1101 0001 1000 1110 0110 0101 1010 1111 1011 1000 0100 0101 0000

Distribuie

» Scriere 14 897,799 651 565 176 093 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100