158 597,199 999 892 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 158 597,199 999 892(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
158 597,199 999 892(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 158 597.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 158 597 : 2 = 79 298 + 1;
  • 79 298 : 2 = 39 649 + 0;
  • 39 649 : 2 = 19 824 + 1;
  • 19 824 : 2 = 9 912 + 0;
  • 9 912 : 2 = 4 956 + 0;
  • 4 956 : 2 = 2 478 + 0;
  • 2 478 : 2 = 1 239 + 0;
  • 1 239 : 2 = 619 + 1;
  • 619 : 2 = 309 + 1;
  • 309 : 2 = 154 + 1;
  • 154 : 2 = 77 + 0;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

158 597(10) =

10 0110 1011 1000 0101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,199 999 892.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,199 999 892 × 2 = 0 + 0,399 999 784;
  • 2) 0,399 999 784 × 2 = 0 + 0,799 999 568;
  • 3) 0,799 999 568 × 2 = 1 + 0,599 999 136;
  • 4) 0,599 999 136 × 2 = 1 + 0,199 998 272;
  • 5) 0,199 998 272 × 2 = 0 + 0,399 996 544;
  • 6) 0,399 996 544 × 2 = 0 + 0,799 993 088;
  • 7) 0,799 993 088 × 2 = 1 + 0,599 986 176;
  • 8) 0,599 986 176 × 2 = 1 + 0,199 972 352;
  • 9) 0,199 972 352 × 2 = 0 + 0,399 944 704;
  • 10) 0,399 944 704 × 2 = 0 + 0,799 889 408;
  • 11) 0,799 889 408 × 2 = 1 + 0,599 778 816;
  • 12) 0,599 778 816 × 2 = 1 + 0,199 557 632;
  • 13) 0,199 557 632 × 2 = 0 + 0,399 115 264;
  • 14) 0,399 115 264 × 2 = 0 + 0,798 230 528;
  • 15) 0,798 230 528 × 2 = 1 + 0,596 461 056;
  • 16) 0,596 461 056 × 2 = 1 + 0,192 922 112;
  • 17) 0,192 922 112 × 2 = 0 + 0,385 844 224;
  • 18) 0,385 844 224 × 2 = 0 + 0,771 688 448;
  • 19) 0,771 688 448 × 2 = 1 + 0,543 376 896;
  • 20) 0,543 376 896 × 2 = 1 + 0,086 753 792;
  • 21) 0,086 753 792 × 2 = 0 + 0,173 507 584;
  • 22) 0,173 507 584 × 2 = 0 + 0,347 015 168;
  • 23) 0,347 015 168 × 2 = 0 + 0,694 030 336;
  • 24) 0,694 030 336 × 2 = 1 + 0,388 060 672;
  • 25) 0,388 060 672 × 2 = 0 + 0,776 121 344;
  • 26) 0,776 121 344 × 2 = 1 + 0,552 242 688;
  • 27) 0,552 242 688 × 2 = 1 + 0,104 485 376;
  • 28) 0,104 485 376 × 2 = 0 + 0,208 970 752;
  • 29) 0,208 970 752 × 2 = 0 + 0,417 941 504;
  • 30) 0,417 941 504 × 2 = 0 + 0,835 883 008;
  • 31) 0,835 883 008 × 2 = 1 + 0,671 766 016;
  • 32) 0,671 766 016 × 2 = 1 + 0,343 532 032;
  • 33) 0,343 532 032 × 2 = 0 + 0,687 064 064;
  • 34) 0,687 064 064 × 2 = 1 + 0,374 128 128;
  • 35) 0,374 128 128 × 2 = 0 + 0,748 256 256;
  • 36) 0,748 256 256 × 2 = 1 + 0,496 512 512;
  • 37) 0,496 512 512 × 2 = 0 + 0,993 025 024;
  • 38) 0,993 025 024 × 2 = 1 + 0,986 050 048;
  • 39) 0,986 050 048 × 2 = 1 + 0,972 100 096;
  • 40) 0,972 100 096 × 2 = 1 + 0,944 200 192;
  • 41) 0,944 200 192 × 2 = 1 + 0,888 400 384;
  • 42) 0,888 400 384 × 2 = 1 + 0,776 800 768;
  • 43) 0,776 800 768 × 2 = 1 + 0,553 601 536;
  • 44) 0,553 601 536 × 2 = 1 + 0,107 203 072;
  • 45) 0,107 203 072 × 2 = 0 + 0,214 406 144;
  • 46) 0,214 406 144 × 2 = 0 + 0,428 812 288;
  • 47) 0,428 812 288 × 2 = 0 + 0,857 624 576;
  • 48) 0,857 624 576 × 2 = 1 + 0,715 249 152;
  • 49) 0,715 249 152 × 2 = 1 + 0,430 498 304;
  • 50) 0,430 498 304 × 2 = 0 + 0,860 996 608;
  • 51) 0,860 996 608 × 2 = 1 + 0,721 993 216;
  • 52) 0,721 993 216 × 2 = 1 + 0,443 986 432;
  • 53) 0,443 986 432 × 2 = 0 + 0,887 972 864;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,199 999 892(10) =

0,0011 0011 0011 0011 0011 0001 0110 0011 0101 0111 1111 0001 1011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

158 597,199 999 892(10) =

10 0110 1011 1000 0101,0011 0011 0011 0011 0011 0001 0110 0011 0101 0111 1111 0001 1011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


158 597,199 999 892(10) =

10 0110 1011 1000 0101,0011 0011 0011 0011 0011 0001 0110 0011 0101 0111 1111 0001 1011 0(2) =

10 0110 1011 1000 0101,0011 0011 0011 0011 0011 0001 0110 0011 0101 0111 1111 0001 1011 0(2) × 20 =

1,0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1011 0001 1010 1011 1111 1000 1101 10(2) × 217


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 17

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1011 0001 1010 1011 1111 1000 1101 10


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

17 + 2(11-1) - 1 =

(17 + 1 023)(10) =

1 040(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 040 : 2 = 520 + 0;
  • 520 : 2 = 260 + 0;
  • 260 : 2 = 130 + 0;
  • 130 : 2 = 65 + 0;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1040(10) =

100 0001 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1011 0001 1010 10 1111 1110 0011 0110 =

0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1011 0001 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 0000

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1011 0001 1010


Numărul zecimal 158 597,199 999 892 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 0000 - 0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1000 1011 0001 1010

Distribuie

» Scriere 158 597,199 999 919 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100