158 597,200 000 54 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 158 597,200 000 54(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
158 597,200 000 54(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 158 597.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 158 597 : 2 = 79 298 + 1;
  • 79 298 : 2 = 39 649 + 0;
  • 39 649 : 2 = 19 824 + 1;
  • 19 824 : 2 = 9 912 + 0;
  • 9 912 : 2 = 4 956 + 0;
  • 4 956 : 2 = 2 478 + 0;
  • 2 478 : 2 = 1 239 + 0;
  • 1 239 : 2 = 619 + 1;
  • 619 : 2 = 309 + 1;
  • 309 : 2 = 154 + 1;
  • 154 : 2 = 77 + 0;
  • 77 : 2 = 38 + 1;
  • 38 : 2 = 19 + 0;
  • 19 : 2 = 9 + 1;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

158 597(10) =

10 0110 1011 1000 0101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,200 000 54.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,200 000 54 × 2 = 0 + 0,400 001 08;
  • 2) 0,400 001 08 × 2 = 0 + 0,800 002 16;
  • 3) 0,800 002 16 × 2 = 1 + 0,600 004 32;
  • 4) 0,600 004 32 × 2 = 1 + 0,200 008 64;
  • 5) 0,200 008 64 × 2 = 0 + 0,400 017 28;
  • 6) 0,400 017 28 × 2 = 0 + 0,800 034 56;
  • 7) 0,800 034 56 × 2 = 1 + 0,600 069 12;
  • 8) 0,600 069 12 × 2 = 1 + 0,200 138 24;
  • 9) 0,200 138 24 × 2 = 0 + 0,400 276 48;
  • 10) 0,400 276 48 × 2 = 0 + 0,800 552 96;
  • 11) 0,800 552 96 × 2 = 1 + 0,601 105 92;
  • 12) 0,601 105 92 × 2 = 1 + 0,202 211 84;
  • 13) 0,202 211 84 × 2 = 0 + 0,404 423 68;
  • 14) 0,404 423 68 × 2 = 0 + 0,808 847 36;
  • 15) 0,808 847 36 × 2 = 1 + 0,617 694 72;
  • 16) 0,617 694 72 × 2 = 1 + 0,235 389 44;
  • 17) 0,235 389 44 × 2 = 0 + 0,470 778 88;
  • 18) 0,470 778 88 × 2 = 0 + 0,941 557 76;
  • 19) 0,941 557 76 × 2 = 1 + 0,883 115 52;
  • 20) 0,883 115 52 × 2 = 1 + 0,766 231 04;
  • 21) 0,766 231 04 × 2 = 1 + 0,532 462 08;
  • 22) 0,532 462 08 × 2 = 1 + 0,064 924 16;
  • 23) 0,064 924 16 × 2 = 0 + 0,129 848 32;
  • 24) 0,129 848 32 × 2 = 0 + 0,259 696 64;
  • 25) 0,259 696 64 × 2 = 0 + 0,519 393 28;
  • 26) 0,519 393 28 × 2 = 1 + 0,038 786 56;
  • 27) 0,038 786 56 × 2 = 0 + 0,077 573 12;
  • 28) 0,077 573 12 × 2 = 0 + 0,155 146 24;
  • 29) 0,155 146 24 × 2 = 0 + 0,310 292 48;
  • 30) 0,310 292 48 × 2 = 0 + 0,620 584 96;
  • 31) 0,620 584 96 × 2 = 1 + 0,241 169 92;
  • 32) 0,241 169 92 × 2 = 0 + 0,482 339 84;
  • 33) 0,482 339 84 × 2 = 0 + 0,964 679 68;
  • 34) 0,964 679 68 × 2 = 1 + 0,929 359 36;
  • 35) 0,929 359 36 × 2 = 1 + 0,858 718 72;
  • 36) 0,858 718 72 × 2 = 1 + 0,717 437 44;
  • 37) 0,717 437 44 × 2 = 1 + 0,434 874 88;
  • 38) 0,434 874 88 × 2 = 0 + 0,869 749 76;
  • 39) 0,869 749 76 × 2 = 1 + 0,739 499 52;
  • 40) 0,739 499 52 × 2 = 1 + 0,478 999 04;
  • 41) 0,478 999 04 × 2 = 0 + 0,957 998 08;
  • 42) 0,957 998 08 × 2 = 1 + 0,915 996 16;
  • 43) 0,915 996 16 × 2 = 1 + 0,831 992 32;
  • 44) 0,831 992 32 × 2 = 1 + 0,663 984 64;
  • 45) 0,663 984 64 × 2 = 1 + 0,327 969 28;
  • 46) 0,327 969 28 × 2 = 0 + 0,655 938 56;
  • 47) 0,655 938 56 × 2 = 1 + 0,311 877 12;
  • 48) 0,311 877 12 × 2 = 0 + 0,623 754 24;
  • 49) 0,623 754 24 × 2 = 1 + 0,247 508 48;
  • 50) 0,247 508 48 × 2 = 0 + 0,495 016 96;
  • 51) 0,495 016 96 × 2 = 0 + 0,990 033 92;
  • 52) 0,990 033 92 × 2 = 1 + 0,980 067 84;
  • 53) 0,980 067 84 × 2 = 1 + 0,960 135 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,200 000 54(10) =

0,0011 0011 0011 0011 0011 1100 0100 0010 0111 1011 0111 1010 1001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

158 597,200 000 54(10) =

10 0110 1011 1000 0101,0011 0011 0011 0011 0011 1100 0100 0010 0111 1011 0111 1010 1001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


158 597,200 000 54(10) =

10 0110 1011 1000 0101,0011 0011 0011 0011 0011 1100 0100 0010 0111 1011 0111 1010 1001 1(2) =

10 0110 1011 1000 0101,0011 0011 0011 0011 0011 1100 0100 0010 0111 1011 0111 1010 1001 1(2) × 20 =

1,0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1110 0010 0001 0011 1101 1011 1101 0100 11(2) × 217


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 17

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1110 0010 0001 0011 1101 1011 1101 0100 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

17 + 2(11-1) - 1 =

(17 + 1 023)(10) =

1 040(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 040 : 2 = 520 + 0;
  • 520 : 2 = 260 + 0;
  • 260 : 2 = 130 + 0;
  • 130 : 2 = 65 + 0;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1040(10) =

100 0001 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1110 0010 0001 0011 11 0110 1111 0101 0011 =

0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1110 0010 0001 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 0000

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1110 0010 0001 0011


Numărul zecimal 158 597,200 000 54 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 0000 - 0011 0101 1100 0010 1001 1001 1001 1001 1001 1110 0010 0001 0011

Distribuie

» Scriere 158 597,200 001 09 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100