166,666 666 666 665 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 166,666 666 666 665 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
166,666 666 666 665 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 166.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 166 : 2 = 83 + 0;
  • 83 : 2 = 41 + 1;
  • 41 : 2 = 20 + 1;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

166(10) =

1010 0110(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,666 666 666 665 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,666 666 666 665 9 × 2 = 1 + 0,333 333 333 331 8;
  • 2) 0,333 333 333 331 8 × 2 = 0 + 0,666 666 666 663 6;
  • 3) 0,666 666 666 663 6 × 2 = 1 + 0,333 333 333 327 2;
  • 4) 0,333 333 333 327 2 × 2 = 0 + 0,666 666 666 654 4;
  • 5) 0,666 666 666 654 4 × 2 = 1 + 0,333 333 333 308 8;
  • 6) 0,333 333 333 308 8 × 2 = 0 + 0,666 666 666 617 6;
  • 7) 0,666 666 666 617 6 × 2 = 1 + 0,333 333 333 235 2;
  • 8) 0,333 333 333 235 2 × 2 = 0 + 0,666 666 666 470 4;
  • 9) 0,666 666 666 470 4 × 2 = 1 + 0,333 333 332 940 8;
  • 10) 0,333 333 332 940 8 × 2 = 0 + 0,666 666 665 881 6;
  • 11) 0,666 666 665 881 6 × 2 = 1 + 0,333 333 331 763 2;
  • 12) 0,333 333 331 763 2 × 2 = 0 + 0,666 666 663 526 4;
  • 13) 0,666 666 663 526 4 × 2 = 1 + 0,333 333 327 052 8;
  • 14) 0,333 333 327 052 8 × 2 = 0 + 0,666 666 654 105 6;
  • 15) 0,666 666 654 105 6 × 2 = 1 + 0,333 333 308 211 2;
  • 16) 0,333 333 308 211 2 × 2 = 0 + 0,666 666 616 422 4;
  • 17) 0,666 666 616 422 4 × 2 = 1 + 0,333 333 232 844 8;
  • 18) 0,333 333 232 844 8 × 2 = 0 + 0,666 666 465 689 6;
  • 19) 0,666 666 465 689 6 × 2 = 1 + 0,333 332 931 379 2;
  • 20) 0,333 332 931 379 2 × 2 = 0 + 0,666 665 862 758 4;
  • 21) 0,666 665 862 758 4 × 2 = 1 + 0,333 331 725 516 8;
  • 22) 0,333 331 725 516 8 × 2 = 0 + 0,666 663 451 033 6;
  • 23) 0,666 663 451 033 6 × 2 = 1 + 0,333 326 902 067 2;
  • 24) 0,333 326 902 067 2 × 2 = 0 + 0,666 653 804 134 4;
  • 25) 0,666 653 804 134 4 × 2 = 1 + 0,333 307 608 268 8;
  • 26) 0,333 307 608 268 8 × 2 = 0 + 0,666 615 216 537 6;
  • 27) 0,666 615 216 537 6 × 2 = 1 + 0,333 230 433 075 2;
  • 28) 0,333 230 433 075 2 × 2 = 0 + 0,666 460 866 150 4;
  • 29) 0,666 460 866 150 4 × 2 = 1 + 0,332 921 732 300 8;
  • 30) 0,332 921 732 300 8 × 2 = 0 + 0,665 843 464 601 6;
  • 31) 0,665 843 464 601 6 × 2 = 1 + 0,331 686 929 203 2;
  • 32) 0,331 686 929 203 2 × 2 = 0 + 0,663 373 858 406 4;
  • 33) 0,663 373 858 406 4 × 2 = 1 + 0,326 747 716 812 8;
  • 34) 0,326 747 716 812 8 × 2 = 0 + 0,653 495 433 625 6;
  • 35) 0,653 495 433 625 6 × 2 = 1 + 0,306 990 867 251 2;
  • 36) 0,306 990 867 251 2 × 2 = 0 + 0,613 981 734 502 4;
  • 37) 0,613 981 734 502 4 × 2 = 1 + 0,227 963 469 004 8;
  • 38) 0,227 963 469 004 8 × 2 = 0 + 0,455 926 938 009 6;
  • 39) 0,455 926 938 009 6 × 2 = 0 + 0,911 853 876 019 2;
  • 40) 0,911 853 876 019 2 × 2 = 1 + 0,823 707 752 038 4;
  • 41) 0,823 707 752 038 4 × 2 = 1 + 0,647 415 504 076 8;
  • 42) 0,647 415 504 076 8 × 2 = 1 + 0,294 831 008 153 6;
  • 43) 0,294 831 008 153 6 × 2 = 0 + 0,589 662 016 307 2;
  • 44) 0,589 662 016 307 2 × 2 = 1 + 0,179 324 032 614 4;
  • 45) 0,179 324 032 614 4 × 2 = 0 + 0,358 648 065 228 8;
  • 46) 0,358 648 065 228 8 × 2 = 0 + 0,717 296 130 457 6;
  • 47) 0,717 296 130 457 6 × 2 = 1 + 0,434 592 260 915 2;
  • 48) 0,434 592 260 915 2 × 2 = 0 + 0,869 184 521 830 4;
  • 49) 0,869 184 521 830 4 × 2 = 1 + 0,738 369 043 660 8;
  • 50) 0,738 369 043 660 8 × 2 = 1 + 0,476 738 087 321 6;
  • 51) 0,476 738 087 321 6 × 2 = 0 + 0,953 476 174 643 2;
  • 52) 0,953 476 174 643 2 × 2 = 1 + 0,906 952 349 286 4;
  • 53) 0,906 952 349 286 4 × 2 = 1 + 0,813 904 698 572 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,666 666 666 665 9(10) =

0,1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1001 1101 0010 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

166,666 666 666 665 9(10) =

1010 0110,1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1001 1101 0010 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


166,666 666 666 665 9(10) =

1010 0110,1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1001 1101 0010 1101 1(2) =

1010 0110,1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1001 1101 0010 1101 1(2) × 20 =

1,0100 1101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0011 1010 0101 1011(2) × 27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 7

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 1101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0011 1010 0101 1011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

7 + 2(11-1) - 1 =

(7 + 1 023)(10) =

1 030(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 030 : 2 = 515 + 0;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1030(10) =

100 0000 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 1101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0011 1010 0101 1011 =

0100 1101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0011 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0110

Mantisă (52 biți) =
0100 1101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0011 1010


Numărul zecimal 166,666 666 666 665 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0110 - 0100 1101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0011 1010

Distribuie

» Scriere 166,666 666 666 675 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100