17,035 499 999 999 998 976 818 388 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 17,035 499 999 999 998 976 818 388(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
17,035 499 999 999 998 976 818 388(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 17.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

17(10) =

1 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,035 499 999 999 998 976 818 388.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,035 499 999 999 998 976 818 388 × 2 = 0 + 0,070 999 999 999 997 953 636 776;
  • 2) 0,070 999 999 999 997 953 636 776 × 2 = 0 + 0,141 999 999 999 995 907 273 552;
  • 3) 0,141 999 999 999 995 907 273 552 × 2 = 0 + 0,283 999 999 999 991 814 547 104;
  • 4) 0,283 999 999 999 991 814 547 104 × 2 = 0 + 0,567 999 999 999 983 629 094 208;
  • 5) 0,567 999 999 999 983 629 094 208 × 2 = 1 + 0,135 999 999 999 967 258 188 416;
  • 6) 0,135 999 999 999 967 258 188 416 × 2 = 0 + 0,271 999 999 999 934 516 376 832;
  • 7) 0,271 999 999 999 934 516 376 832 × 2 = 0 + 0,543 999 999 999 869 032 753 664;
  • 8) 0,543 999 999 999 869 032 753 664 × 2 = 1 + 0,087 999 999 999 738 065 507 328;
  • 9) 0,087 999 999 999 738 065 507 328 × 2 = 0 + 0,175 999 999 999 476 131 014 656;
  • 10) 0,175 999 999 999 476 131 014 656 × 2 = 0 + 0,351 999 999 998 952 262 029 312;
  • 11) 0,351 999 999 998 952 262 029 312 × 2 = 0 + 0,703 999 999 997 904 524 058 624;
  • 12) 0,703 999 999 997 904 524 058 624 × 2 = 1 + 0,407 999 999 995 809 048 117 248;
  • 13) 0,407 999 999 995 809 048 117 248 × 2 = 0 + 0,815 999 999 991 618 096 234 496;
  • 14) 0,815 999 999 991 618 096 234 496 × 2 = 1 + 0,631 999 999 983 236 192 468 992;
  • 15) 0,631 999 999 983 236 192 468 992 × 2 = 1 + 0,263 999 999 966 472 384 937 984;
  • 16) 0,263 999 999 966 472 384 937 984 × 2 = 0 + 0,527 999 999 932 944 769 875 968;
  • 17) 0,527 999 999 932 944 769 875 968 × 2 = 1 + 0,055 999 999 865 889 539 751 936;
  • 18) 0,055 999 999 865 889 539 751 936 × 2 = 0 + 0,111 999 999 731 779 079 503 872;
  • 19) 0,111 999 999 731 779 079 503 872 × 2 = 0 + 0,223 999 999 463 558 159 007 744;
  • 20) 0,223 999 999 463 558 159 007 744 × 2 = 0 + 0,447 999 998 927 116 318 015 488;
  • 21) 0,447 999 998 927 116 318 015 488 × 2 = 0 + 0,895 999 997 854 232 636 030 976;
  • 22) 0,895 999 997 854 232 636 030 976 × 2 = 1 + 0,791 999 995 708 465 272 061 952;
  • 23) 0,791 999 995 708 465 272 061 952 × 2 = 1 + 0,583 999 991 416 930 544 123 904;
  • 24) 0,583 999 991 416 930 544 123 904 × 2 = 1 + 0,167 999 982 833 861 088 247 808;
  • 25) 0,167 999 982 833 861 088 247 808 × 2 = 0 + 0,335 999 965 667 722 176 495 616;
  • 26) 0,335 999 965 667 722 176 495 616 × 2 = 0 + 0,671 999 931 335 444 352 991 232;
  • 27) 0,671 999 931 335 444 352 991 232 × 2 = 1 + 0,343 999 862 670 888 705 982 464;
  • 28) 0,343 999 862 670 888 705 982 464 × 2 = 0 + 0,687 999 725 341 777 411 964 928;
  • 29) 0,687 999 725 341 777 411 964 928 × 2 = 1 + 0,375 999 450 683 554 823 929 856;
  • 30) 0,375 999 450 683 554 823 929 856 × 2 = 0 + 0,751 998 901 367 109 647 859 712;
  • 31) 0,751 998 901 367 109 647 859 712 × 2 = 1 + 0,503 997 802 734 219 295 719 424;
  • 32) 0,503 997 802 734 219 295 719 424 × 2 = 1 + 0,007 995 605 468 438 591 438 848;
  • 33) 0,007 995 605 468 438 591 438 848 × 2 = 0 + 0,015 991 210 936 877 182 877 696;
  • 34) 0,015 991 210 936 877 182 877 696 × 2 = 0 + 0,031 982 421 873 754 365 755 392;
  • 35) 0,031 982 421 873 754 365 755 392 × 2 = 0 + 0,063 964 843 747 508 731 510 784;
  • 36) 0,063 964 843 747 508 731 510 784 × 2 = 0 + 0,127 929 687 495 017 463 021 568;
  • 37) 0,127 929 687 495 017 463 021 568 × 2 = 0 + 0,255 859 374 990 034 926 043 136;
  • 38) 0,255 859 374 990 034 926 043 136 × 2 = 0 + 0,511 718 749 980 069 852 086 272;
  • 39) 0,511 718 749 980 069 852 086 272 × 2 = 1 + 0,023 437 499 960 139 704 172 544;
  • 40) 0,023 437 499 960 139 704 172 544 × 2 = 0 + 0,046 874 999 920 279 408 345 088;
  • 41) 0,046 874 999 920 279 408 345 088 × 2 = 0 + 0,093 749 999 840 558 816 690 176;
  • 42) 0,093 749 999 840 558 816 690 176 × 2 = 0 + 0,187 499 999 681 117 633 380 352;
  • 43) 0,187 499 999 681 117 633 380 352 × 2 = 0 + 0,374 999 999 362 235 266 760 704;
  • 44) 0,374 999 999 362 235 266 760 704 × 2 = 0 + 0,749 999 998 724 470 533 521 408;
  • 45) 0,749 999 998 724 470 533 521 408 × 2 = 1 + 0,499 999 997 448 941 067 042 816;
  • 46) 0,499 999 997 448 941 067 042 816 × 2 = 0 + 0,999 999 994 897 882 134 085 632;
  • 47) 0,999 999 994 897 882 134 085 632 × 2 = 1 + 0,999 999 989 795 764 268 171 264;
  • 48) 0,999 999 989 795 764 268 171 264 × 2 = 1 + 0,999 999 979 591 528 536 342 528;
  • 49) 0,999 999 979 591 528 536 342 528 × 2 = 1 + 0,999 999 959 183 057 072 685 056;
  • 50) 0,999 999 959 183 057 072 685 056 × 2 = 1 + 0,999 999 918 366 114 145 370 112;
  • 51) 0,999 999 918 366 114 145 370 112 × 2 = 1 + 0,999 999 836 732 228 290 740 224;
  • 52) 0,999 999 836 732 228 290 740 224 × 2 = 1 + 0,999 999 673 464 456 581 480 448;
  • 53) 0,999 999 673 464 456 581 480 448 × 2 = 1 + 0,999 999 346 928 913 162 960 896;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,035 499 999 999 998 976 818 388(10) =

0,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

17,035 499 999 999 998 976 818 388(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


17,035 499 999 999 998 976 818 388(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011 1111 1(2) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011 1111 1(2) × 20 =

1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011 1111 1(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011 1111 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011 1 1111 =

0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011


Numărul zecimal 17,035 499 999 999 998 976 818 388 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1011

Distribuie

» Scriere 17,035 499 999 999 998 976 818 437 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100