17,035 499 999 999 998 976 818 747 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 17,035 499 999 999 998 976 818 747(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
17,035 499 999 999 998 976 818 747(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 17.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

17(10) =

1 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,035 499 999 999 998 976 818 747.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,035 499 999 999 998 976 818 747 × 2 = 0 + 0,070 999 999 999 997 953 637 494;
  • 2) 0,070 999 999 999 997 953 637 494 × 2 = 0 + 0,141 999 999 999 995 907 274 988;
  • 3) 0,141 999 999 999 995 907 274 988 × 2 = 0 + 0,283 999 999 999 991 814 549 976;
  • 4) 0,283 999 999 999 991 814 549 976 × 2 = 0 + 0,567 999 999 999 983 629 099 952;
  • 5) 0,567 999 999 999 983 629 099 952 × 2 = 1 + 0,135 999 999 999 967 258 199 904;
  • 6) 0,135 999 999 999 967 258 199 904 × 2 = 0 + 0,271 999 999 999 934 516 399 808;
  • 7) 0,271 999 999 999 934 516 399 808 × 2 = 0 + 0,543 999 999 999 869 032 799 616;
  • 8) 0,543 999 999 999 869 032 799 616 × 2 = 1 + 0,087 999 999 999 738 065 599 232;
  • 9) 0,087 999 999 999 738 065 599 232 × 2 = 0 + 0,175 999 999 999 476 131 198 464;
  • 10) 0,175 999 999 999 476 131 198 464 × 2 = 0 + 0,351 999 999 998 952 262 396 928;
  • 11) 0,351 999 999 998 952 262 396 928 × 2 = 0 + 0,703 999 999 997 904 524 793 856;
  • 12) 0,703 999 999 997 904 524 793 856 × 2 = 1 + 0,407 999 999 995 809 049 587 712;
  • 13) 0,407 999 999 995 809 049 587 712 × 2 = 0 + 0,815 999 999 991 618 099 175 424;
  • 14) 0,815 999 999 991 618 099 175 424 × 2 = 1 + 0,631 999 999 983 236 198 350 848;
  • 15) 0,631 999 999 983 236 198 350 848 × 2 = 1 + 0,263 999 999 966 472 396 701 696;
  • 16) 0,263 999 999 966 472 396 701 696 × 2 = 0 + 0,527 999 999 932 944 793 403 392;
  • 17) 0,527 999 999 932 944 793 403 392 × 2 = 1 + 0,055 999 999 865 889 586 806 784;
  • 18) 0,055 999 999 865 889 586 806 784 × 2 = 0 + 0,111 999 999 731 779 173 613 568;
  • 19) 0,111 999 999 731 779 173 613 568 × 2 = 0 + 0,223 999 999 463 558 347 227 136;
  • 20) 0,223 999 999 463 558 347 227 136 × 2 = 0 + 0,447 999 998 927 116 694 454 272;
  • 21) 0,447 999 998 927 116 694 454 272 × 2 = 0 + 0,895 999 997 854 233 388 908 544;
  • 22) 0,895 999 997 854 233 388 908 544 × 2 = 1 + 0,791 999 995 708 466 777 817 088;
  • 23) 0,791 999 995 708 466 777 817 088 × 2 = 1 + 0,583 999 991 416 933 555 634 176;
  • 24) 0,583 999 991 416 933 555 634 176 × 2 = 1 + 0,167 999 982 833 867 111 268 352;
  • 25) 0,167 999 982 833 867 111 268 352 × 2 = 0 + 0,335 999 965 667 734 222 536 704;
  • 26) 0,335 999 965 667 734 222 536 704 × 2 = 0 + 0,671 999 931 335 468 445 073 408;
  • 27) 0,671 999 931 335 468 445 073 408 × 2 = 1 + 0,343 999 862 670 936 890 146 816;
  • 28) 0,343 999 862 670 936 890 146 816 × 2 = 0 + 0,687 999 725 341 873 780 293 632;
  • 29) 0,687 999 725 341 873 780 293 632 × 2 = 1 + 0,375 999 450 683 747 560 587 264;
  • 30) 0,375 999 450 683 747 560 587 264 × 2 = 0 + 0,751 998 901 367 495 121 174 528;
  • 31) 0,751 998 901 367 495 121 174 528 × 2 = 1 + 0,503 997 802 734 990 242 349 056;
  • 32) 0,503 997 802 734 990 242 349 056 × 2 = 1 + 0,007 995 605 469 980 484 698 112;
  • 33) 0,007 995 605 469 980 484 698 112 × 2 = 0 + 0,015 991 210 939 960 969 396 224;
  • 34) 0,015 991 210 939 960 969 396 224 × 2 = 0 + 0,031 982 421 879 921 938 792 448;
  • 35) 0,031 982 421 879 921 938 792 448 × 2 = 0 + 0,063 964 843 759 843 877 584 896;
  • 36) 0,063 964 843 759 843 877 584 896 × 2 = 0 + 0,127 929 687 519 687 755 169 792;
  • 37) 0,127 929 687 519 687 755 169 792 × 2 = 0 + 0,255 859 375 039 375 510 339 584;
  • 38) 0,255 859 375 039 375 510 339 584 × 2 = 0 + 0,511 718 750 078 751 020 679 168;
  • 39) 0,511 718 750 078 751 020 679 168 × 2 = 1 + 0,023 437 500 157 502 041 358 336;
  • 40) 0,023 437 500 157 502 041 358 336 × 2 = 0 + 0,046 875 000 315 004 082 716 672;
  • 41) 0,046 875 000 315 004 082 716 672 × 2 = 0 + 0,093 750 000 630 008 165 433 344;
  • 42) 0,093 750 000 630 008 165 433 344 × 2 = 0 + 0,187 500 001 260 016 330 866 688;
  • 43) 0,187 500 001 260 016 330 866 688 × 2 = 0 + 0,375 000 002 520 032 661 733 376;
  • 44) 0,375 000 002 520 032 661 733 376 × 2 = 0 + 0,750 000 005 040 065 323 466 752;
  • 45) 0,750 000 005 040 065 323 466 752 × 2 = 1 + 0,500 000 010 080 130 646 933 504;
  • 46) 0,500 000 010 080 130 646 933 504 × 2 = 1 + 0,000 000 020 160 261 293 867 008;
  • 47) 0,000 000 020 160 261 293 867 008 × 2 = 0 + 0,000 000 040 320 522 587 734 016;
  • 48) 0,000 000 040 320 522 587 734 016 × 2 = 0 + 0,000 000 080 641 045 175 468 032;
  • 49) 0,000 000 080 641 045 175 468 032 × 2 = 0 + 0,000 000 161 282 090 350 936 064;
  • 50) 0,000 000 161 282 090 350 936 064 × 2 = 0 + 0,000 000 322 564 180 701 872 128;
  • 51) 0,000 000 322 564 180 701 872 128 × 2 = 0 + 0,000 000 645 128 361 403 744 256;
  • 52) 0,000 000 645 128 361 403 744 256 × 2 = 0 + 0,000 001 290 256 722 807 488 512;
  • 53) 0,000 001 290 256 722 807 488 512 × 2 = 0 + 0,000 002 580 513 445 614 977 024;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,035 499 999 999 998 976 818 747(10) =

0,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

17,035 499 999 999 998 976 818 747(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


17,035 499 999 999 998 976 818 747(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2) × 20 =

1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0 0000 =

0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100


Numărul zecimal 17,035 499 999 999 998 976 818 747 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100

Distribuie

» Scriere 17,035 499 999 999 998 976 818 729 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100