17,035 499 999 999 998 976 820 73 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 17,035 499 999 999 998 976 820 73(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
17,035 499 999 999 998 976 820 73(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 17.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

17(10) =

1 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,035 499 999 999 998 976 820 73.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,035 499 999 999 998 976 820 73 × 2 = 0 + 0,070 999 999 999 997 953 641 46;
  • 2) 0,070 999 999 999 997 953 641 46 × 2 = 0 + 0,141 999 999 999 995 907 282 92;
  • 3) 0,141 999 999 999 995 907 282 92 × 2 = 0 + 0,283 999 999 999 991 814 565 84;
  • 4) 0,283 999 999 999 991 814 565 84 × 2 = 0 + 0,567 999 999 999 983 629 131 68;
  • 5) 0,567 999 999 999 983 629 131 68 × 2 = 1 + 0,135 999 999 999 967 258 263 36;
  • 6) 0,135 999 999 999 967 258 263 36 × 2 = 0 + 0,271 999 999 999 934 516 526 72;
  • 7) 0,271 999 999 999 934 516 526 72 × 2 = 0 + 0,543 999 999 999 869 033 053 44;
  • 8) 0,543 999 999 999 869 033 053 44 × 2 = 1 + 0,087 999 999 999 738 066 106 88;
  • 9) 0,087 999 999 999 738 066 106 88 × 2 = 0 + 0,175 999 999 999 476 132 213 76;
  • 10) 0,175 999 999 999 476 132 213 76 × 2 = 0 + 0,351 999 999 998 952 264 427 52;
  • 11) 0,351 999 999 998 952 264 427 52 × 2 = 0 + 0,703 999 999 997 904 528 855 04;
  • 12) 0,703 999 999 997 904 528 855 04 × 2 = 1 + 0,407 999 999 995 809 057 710 08;
  • 13) 0,407 999 999 995 809 057 710 08 × 2 = 0 + 0,815 999 999 991 618 115 420 16;
  • 14) 0,815 999 999 991 618 115 420 16 × 2 = 1 + 0,631 999 999 983 236 230 840 32;
  • 15) 0,631 999 999 983 236 230 840 32 × 2 = 1 + 0,263 999 999 966 472 461 680 64;
  • 16) 0,263 999 999 966 472 461 680 64 × 2 = 0 + 0,527 999 999 932 944 923 361 28;
  • 17) 0,527 999 999 932 944 923 361 28 × 2 = 1 + 0,055 999 999 865 889 846 722 56;
  • 18) 0,055 999 999 865 889 846 722 56 × 2 = 0 + 0,111 999 999 731 779 693 445 12;
  • 19) 0,111 999 999 731 779 693 445 12 × 2 = 0 + 0,223 999 999 463 559 386 890 24;
  • 20) 0,223 999 999 463 559 386 890 24 × 2 = 0 + 0,447 999 998 927 118 773 780 48;
  • 21) 0,447 999 998 927 118 773 780 48 × 2 = 0 + 0,895 999 997 854 237 547 560 96;
  • 22) 0,895 999 997 854 237 547 560 96 × 2 = 1 + 0,791 999 995 708 475 095 121 92;
  • 23) 0,791 999 995 708 475 095 121 92 × 2 = 1 + 0,583 999 991 416 950 190 243 84;
  • 24) 0,583 999 991 416 950 190 243 84 × 2 = 1 + 0,167 999 982 833 900 380 487 68;
  • 25) 0,167 999 982 833 900 380 487 68 × 2 = 0 + 0,335 999 965 667 800 760 975 36;
  • 26) 0,335 999 965 667 800 760 975 36 × 2 = 0 + 0,671 999 931 335 601 521 950 72;
  • 27) 0,671 999 931 335 601 521 950 72 × 2 = 1 + 0,343 999 862 671 203 043 901 44;
  • 28) 0,343 999 862 671 203 043 901 44 × 2 = 0 + 0,687 999 725 342 406 087 802 88;
  • 29) 0,687 999 725 342 406 087 802 88 × 2 = 1 + 0,375 999 450 684 812 175 605 76;
  • 30) 0,375 999 450 684 812 175 605 76 × 2 = 0 + 0,751 998 901 369 624 351 211 52;
  • 31) 0,751 998 901 369 624 351 211 52 × 2 = 1 + 0,503 997 802 739 248 702 423 04;
  • 32) 0,503 997 802 739 248 702 423 04 × 2 = 1 + 0,007 995 605 478 497 404 846 08;
  • 33) 0,007 995 605 478 497 404 846 08 × 2 = 0 + 0,015 991 210 956 994 809 692 16;
  • 34) 0,015 991 210 956 994 809 692 16 × 2 = 0 + 0,031 982 421 913 989 619 384 32;
  • 35) 0,031 982 421 913 989 619 384 32 × 2 = 0 + 0,063 964 843 827 979 238 768 64;
  • 36) 0,063 964 843 827 979 238 768 64 × 2 = 0 + 0,127 929 687 655 958 477 537 28;
  • 37) 0,127 929 687 655 958 477 537 28 × 2 = 0 + 0,255 859 375 311 916 955 074 56;
  • 38) 0,255 859 375 311 916 955 074 56 × 2 = 0 + 0,511 718 750 623 833 910 149 12;
  • 39) 0,511 718 750 623 833 910 149 12 × 2 = 1 + 0,023 437 501 247 667 820 298 24;
  • 40) 0,023 437 501 247 667 820 298 24 × 2 = 0 + 0,046 875 002 495 335 640 596 48;
  • 41) 0,046 875 002 495 335 640 596 48 × 2 = 0 + 0,093 750 004 990 671 281 192 96;
  • 42) 0,093 750 004 990 671 281 192 96 × 2 = 0 + 0,187 500 009 981 342 562 385 92;
  • 43) 0,187 500 009 981 342 562 385 92 × 2 = 0 + 0,375 000 019 962 685 124 771 84;
  • 44) 0,375 000 019 962 685 124 771 84 × 2 = 0 + 0,750 000 039 925 370 249 543 68;
  • 45) 0,750 000 039 925 370 249 543 68 × 2 = 1 + 0,500 000 079 850 740 499 087 36;
  • 46) 0,500 000 079 850 740 499 087 36 × 2 = 1 + 0,000 000 159 701 480 998 174 72;
  • 47) 0,000 000 159 701 480 998 174 72 × 2 = 0 + 0,000 000 319 402 961 996 349 44;
  • 48) 0,000 000 319 402 961 996 349 44 × 2 = 0 + 0,000 000 638 805 923 992 698 88;
  • 49) 0,000 000 638 805 923 992 698 88 × 2 = 0 + 0,000 001 277 611 847 985 397 76;
  • 50) 0,000 001 277 611 847 985 397 76 × 2 = 0 + 0,000 002 555 223 695 970 795 52;
  • 51) 0,000 002 555 223 695 970 795 52 × 2 = 0 + 0,000 005 110 447 391 941 591 04;
  • 52) 0,000 005 110 447 391 941 591 04 × 2 = 0 + 0,000 010 220 894 783 883 182 08;
  • 53) 0,000 010 220 894 783 883 182 08 × 2 = 0 + 0,000 020 441 789 567 766 364 16;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,035 499 999 999 998 976 820 73(10) =

0,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

17,035 499 999 999 998 976 820 73(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


17,035 499 999 999 998 976 820 73(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2) × 20 =

1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100 0 0000 =

0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100


Numărul zecimal 17,035 499 999 999 998 976 820 73 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0000 1100

Distribuie

» Scriere 17,035 499 999 999 998 976 820 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100