17,035 500 000 000 020 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 17,035 500 000 000 020 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
17,035 500 000 000 020 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 17.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 17 : 2 = 8 + 1;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

17(10) =

1 0001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,035 500 000 000 020 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,035 500 000 000 020 3 × 2 = 0 + 0,071 000 000 000 040 6;
  • 2) 0,071 000 000 000 040 6 × 2 = 0 + 0,142 000 000 000 081 2;
  • 3) 0,142 000 000 000 081 2 × 2 = 0 + 0,284 000 000 000 162 4;
  • 4) 0,284 000 000 000 162 4 × 2 = 0 + 0,568 000 000 000 324 8;
  • 5) 0,568 000 000 000 324 8 × 2 = 1 + 0,136 000 000 000 649 6;
  • 6) 0,136 000 000 000 649 6 × 2 = 0 + 0,272 000 000 001 299 2;
  • 7) 0,272 000 000 001 299 2 × 2 = 0 + 0,544 000 000 002 598 4;
  • 8) 0,544 000 000 002 598 4 × 2 = 1 + 0,088 000 000 005 196 8;
  • 9) 0,088 000 000 005 196 8 × 2 = 0 + 0,176 000 000 010 393 6;
  • 10) 0,176 000 000 010 393 6 × 2 = 0 + 0,352 000 000 020 787 2;
  • 11) 0,352 000 000 020 787 2 × 2 = 0 + 0,704 000 000 041 574 4;
  • 12) 0,704 000 000 041 574 4 × 2 = 1 + 0,408 000 000 083 148 8;
  • 13) 0,408 000 000 083 148 8 × 2 = 0 + 0,816 000 000 166 297 6;
  • 14) 0,816 000 000 166 297 6 × 2 = 1 + 0,632 000 000 332 595 2;
  • 15) 0,632 000 000 332 595 2 × 2 = 1 + 0,264 000 000 665 190 4;
  • 16) 0,264 000 000 665 190 4 × 2 = 0 + 0,528 000 001 330 380 8;
  • 17) 0,528 000 001 330 380 8 × 2 = 1 + 0,056 000 002 660 761 6;
  • 18) 0,056 000 002 660 761 6 × 2 = 0 + 0,112 000 005 321 523 2;
  • 19) 0,112 000 005 321 523 2 × 2 = 0 + 0,224 000 010 643 046 4;
  • 20) 0,224 000 010 643 046 4 × 2 = 0 + 0,448 000 021 286 092 8;
  • 21) 0,448 000 021 286 092 8 × 2 = 0 + 0,896 000 042 572 185 6;
  • 22) 0,896 000 042 572 185 6 × 2 = 1 + 0,792 000 085 144 371 2;
  • 23) 0,792 000 085 144 371 2 × 2 = 1 + 0,584 000 170 288 742 4;
  • 24) 0,584 000 170 288 742 4 × 2 = 1 + 0,168 000 340 577 484 8;
  • 25) 0,168 000 340 577 484 8 × 2 = 0 + 0,336 000 681 154 969 6;
  • 26) 0,336 000 681 154 969 6 × 2 = 0 + 0,672 001 362 309 939 2;
  • 27) 0,672 001 362 309 939 2 × 2 = 1 + 0,344 002 724 619 878 4;
  • 28) 0,344 002 724 619 878 4 × 2 = 0 + 0,688 005 449 239 756 8;
  • 29) 0,688 005 449 239 756 8 × 2 = 1 + 0,376 010 898 479 513 6;
  • 30) 0,376 010 898 479 513 6 × 2 = 0 + 0,752 021 796 959 027 2;
  • 31) 0,752 021 796 959 027 2 × 2 = 1 + 0,504 043 593 918 054 4;
  • 32) 0,504 043 593 918 054 4 × 2 = 1 + 0,008 087 187 836 108 8;
  • 33) 0,008 087 187 836 108 8 × 2 = 0 + 0,016 174 375 672 217 6;
  • 34) 0,016 174 375 672 217 6 × 2 = 0 + 0,032 348 751 344 435 2;
  • 35) 0,032 348 751 344 435 2 × 2 = 0 + 0,064 697 502 688 870 4;
  • 36) 0,064 697 502 688 870 4 × 2 = 0 + 0,129 395 005 377 740 8;
  • 37) 0,129 395 005 377 740 8 × 2 = 0 + 0,258 790 010 755 481 6;
  • 38) 0,258 790 010 755 481 6 × 2 = 0 + 0,517 580 021 510 963 2;
  • 39) 0,517 580 021 510 963 2 × 2 = 1 + 0,035 160 043 021 926 4;
  • 40) 0,035 160 043 021 926 4 × 2 = 0 + 0,070 320 086 043 852 8;
  • 41) 0,070 320 086 043 852 8 × 2 = 0 + 0,140 640 172 087 705 6;
  • 42) 0,140 640 172 087 705 6 × 2 = 0 + 0,281 280 344 175 411 2;
  • 43) 0,281 280 344 175 411 2 × 2 = 0 + 0,562 560 688 350 822 4;
  • 44) 0,562 560 688 350 822 4 × 2 = 1 + 0,125 121 376 701 644 8;
  • 45) 0,125 121 376 701 644 8 × 2 = 0 + 0,250 242 753 403 289 6;
  • 46) 0,250 242 753 403 289 6 × 2 = 0 + 0,500 485 506 806 579 2;
  • 47) 0,500 485 506 806 579 2 × 2 = 1 + 0,000 971 013 613 158 4;
  • 48) 0,000 971 013 613 158 4 × 2 = 0 + 0,001 942 027 226 316 8;
  • 49) 0,001 942 027 226 316 8 × 2 = 0 + 0,003 884 054 452 633 6;
  • 50) 0,003 884 054 452 633 6 × 2 = 0 + 0,007 768 108 905 267 2;
  • 51) 0,007 768 108 905 267 2 × 2 = 0 + 0,015 536 217 810 534 4;
  • 52) 0,015 536 217 810 534 4 × 2 = 0 + 0,031 072 435 621 068 8;
  • 53) 0,031 072 435 621 068 8 × 2 = 0 + 0,062 144 871 242 137 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,035 500 000 000 020 3(10) =

0,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

17,035 500 000 000 020 3(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


17,035 500 000 000 020 3(10) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010 0000 0(2) =

1 0001,0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010 0000 0(2) × 20 =

1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010 0000 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010 0 0000 =

0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010


Numărul zecimal 17,035 500 000 000 020 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0001 0000 1001 0001 0110 1000 0111 0010 1011 0000 0010 0001 0010

Distribuie

» Scriere 17,035 500 000 000 022 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100