18,269 999 999 999 999 573 674 367 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 18,269 999 999 999 999 573 674 367(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
18,269 999 999 999 999 573 674 367(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 18.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 18 : 2 = 9 + 0;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

18(10) =

1 0010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,269 999 999 999 999 573 674 367.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,269 999 999 999 999 573 674 367 × 2 = 0 + 0,539 999 999 999 999 147 348 734;
  • 2) 0,539 999 999 999 999 147 348 734 × 2 = 1 + 0,079 999 999 999 998 294 697 468;
  • 3) 0,079 999 999 999 998 294 697 468 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 996 589 394 936;
  • 4) 0,159 999 999 999 996 589 394 936 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 993 178 789 872;
  • 5) 0,319 999 999 999 993 178 789 872 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 986 357 579 744;
  • 6) 0,639 999 999 999 986 357 579 744 × 2 = 1 + 0,279 999 999 999 972 715 159 488;
  • 7) 0,279 999 999 999 972 715 159 488 × 2 = 0 + 0,559 999 999 999 945 430 318 976;
  • 8) 0,559 999 999 999 945 430 318 976 × 2 = 1 + 0,119 999 999 999 890 860 637 952;
  • 9) 0,119 999 999 999 890 860 637 952 × 2 = 0 + 0,239 999 999 999 781 721 275 904;
  • 10) 0,239 999 999 999 781 721 275 904 × 2 = 0 + 0,479 999 999 999 563 442 551 808;
  • 11) 0,479 999 999 999 563 442 551 808 × 2 = 0 + 0,959 999 999 999 126 885 103 616;
  • 12) 0,959 999 999 999 126 885 103 616 × 2 = 1 + 0,919 999 999 998 253 770 207 232;
  • 13) 0,919 999 999 998 253 770 207 232 × 2 = 1 + 0,839 999 999 996 507 540 414 464;
  • 14) 0,839 999 999 996 507 540 414 464 × 2 = 1 + 0,679 999 999 993 015 080 828 928;
  • 15) 0,679 999 999 993 015 080 828 928 × 2 = 1 + 0,359 999 999 986 030 161 657 856;
  • 16) 0,359 999 999 986 030 161 657 856 × 2 = 0 + 0,719 999 999 972 060 323 315 712;
  • 17) 0,719 999 999 972 060 323 315 712 × 2 = 1 + 0,439 999 999 944 120 646 631 424;
  • 18) 0,439 999 999 944 120 646 631 424 × 2 = 0 + 0,879 999 999 888 241 293 262 848;
  • 19) 0,879 999 999 888 241 293 262 848 × 2 = 1 + 0,759 999 999 776 482 586 525 696;
  • 20) 0,759 999 999 776 482 586 525 696 × 2 = 1 + 0,519 999 999 552 965 173 051 392;
  • 21) 0,519 999 999 552 965 173 051 392 × 2 = 1 + 0,039 999 999 105 930 346 102 784;
  • 22) 0,039 999 999 105 930 346 102 784 × 2 = 0 + 0,079 999 998 211 860 692 205 568;
  • 23) 0,079 999 998 211 860 692 205 568 × 2 = 0 + 0,159 999 996 423 721 384 411 136;
  • 24) 0,159 999 996 423 721 384 411 136 × 2 = 0 + 0,319 999 992 847 442 768 822 272;
  • 25) 0,319 999 992 847 442 768 822 272 × 2 = 0 + 0,639 999 985 694 885 537 644 544;
  • 26) 0,639 999 985 694 885 537 644 544 × 2 = 1 + 0,279 999 971 389 771 075 289 088;
  • 27) 0,279 999 971 389 771 075 289 088 × 2 = 0 + 0,559 999 942 779 542 150 578 176;
  • 28) 0,559 999 942 779 542 150 578 176 × 2 = 1 + 0,119 999 885 559 084 301 156 352;
  • 29) 0,119 999 885 559 084 301 156 352 × 2 = 0 + 0,239 999 771 118 168 602 312 704;
  • 30) 0,239 999 771 118 168 602 312 704 × 2 = 0 + 0,479 999 542 236 337 204 625 408;
  • 31) 0,479 999 542 236 337 204 625 408 × 2 = 0 + 0,959 999 084 472 674 409 250 816;
  • 32) 0,959 999 084 472 674 409 250 816 × 2 = 1 + 0,919 998 168 945 348 818 501 632;
  • 33) 0,919 998 168 945 348 818 501 632 × 2 = 1 + 0,839 996 337 890 697 637 003 264;
  • 34) 0,839 996 337 890 697 637 003 264 × 2 = 1 + 0,679 992 675 781 395 274 006 528;
  • 35) 0,679 992 675 781 395 274 006 528 × 2 = 1 + 0,359 985 351 562 790 548 013 056;
  • 36) 0,359 985 351 562 790 548 013 056 × 2 = 0 + 0,719 970 703 125 581 096 026 112;
  • 37) 0,719 970 703 125 581 096 026 112 × 2 = 1 + 0,439 941 406 251 162 192 052 224;
  • 38) 0,439 941 406 251 162 192 052 224 × 2 = 0 + 0,879 882 812 502 324 384 104 448;
  • 39) 0,879 882 812 502 324 384 104 448 × 2 = 1 + 0,759 765 625 004 648 768 208 896;
  • 40) 0,759 765 625 004 648 768 208 896 × 2 = 1 + 0,519 531 250 009 297 536 417 792;
  • 41) 0,519 531 250 009 297 536 417 792 × 2 = 1 + 0,039 062 500 018 595 072 835 584;
  • 42) 0,039 062 500 018 595 072 835 584 × 2 = 0 + 0,078 125 000 037 190 145 671 168;
  • 43) 0,078 125 000 037 190 145 671 168 × 2 = 0 + 0,156 250 000 074 380 291 342 336;
  • 44) 0,156 250 000 074 380 291 342 336 × 2 = 0 + 0,312 500 000 148 760 582 684 672;
  • 45) 0,312 500 000 148 760 582 684 672 × 2 = 0 + 0,625 000 000 297 521 165 369 344;
  • 46) 0,625 000 000 297 521 165 369 344 × 2 = 1 + 0,250 000 000 595 042 330 738 688;
  • 47) 0,250 000 000 595 042 330 738 688 × 2 = 0 + 0,500 000 001 190 084 661 477 376;
  • 48) 0,500 000 001 190 084 661 477 376 × 2 = 1 + 0,000 000 002 380 169 322 954 752;
  • 49) 0,000 000 002 380 169 322 954 752 × 2 = 0 + 0,000 000 004 760 338 645 909 504;
  • 50) 0,000 000 004 760 338 645 909 504 × 2 = 0 + 0,000 000 009 520 677 291 819 008;
  • 51) 0,000 000 009 520 677 291 819 008 × 2 = 0 + 0,000 000 019 041 354 583 638 016;
  • 52) 0,000 000 019 041 354 583 638 016 × 2 = 0 + 0,000 000 038 082 709 167 276 032;
  • 53) 0,000 000 038 082 709 167 276 032 × 2 = 0 + 0,000 000 076 165 418 334 552 064;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,269 999 999 999 999 573 674 367(10) =

0,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

18,269 999 999 999 999 573 674 367(10) =

1 0010,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


18,269 999 999 999 999 573 674 367(10) =

1 0010,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2) =

1 0010,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2) × 20 =

1,0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0 0000 =

0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101


Numărul zecimal 18,269 999 999 999 999 573 674 367 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101

Distribuie

» Scriere 18,269 999 999 999 999 573 674 456 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100