18,269 999 999 999 999 573 675 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 18,269 999 999 999 999 573 675(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
18,269 999 999 999 999 573 675(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 18.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 18 : 2 = 9 + 0;
  • 9 : 2 = 4 + 1;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

18(10) =

1 0010(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,269 999 999 999 999 573 675.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,269 999 999 999 999 573 675 × 2 = 0 + 0,539 999 999 999 999 147 35;
  • 2) 0,539 999 999 999 999 147 35 × 2 = 1 + 0,079 999 999 999 998 294 7;
  • 3) 0,079 999 999 999 998 294 7 × 2 = 0 + 0,159 999 999 999 996 589 4;
  • 4) 0,159 999 999 999 996 589 4 × 2 = 0 + 0,319 999 999 999 993 178 8;
  • 5) 0,319 999 999 999 993 178 8 × 2 = 0 + 0,639 999 999 999 986 357 6;
  • 6) 0,639 999 999 999 986 357 6 × 2 = 1 + 0,279 999 999 999 972 715 2;
  • 7) 0,279 999 999 999 972 715 2 × 2 = 0 + 0,559 999 999 999 945 430 4;
  • 8) 0,559 999 999 999 945 430 4 × 2 = 1 + 0,119 999 999 999 890 860 8;
  • 9) 0,119 999 999 999 890 860 8 × 2 = 0 + 0,239 999 999 999 781 721 6;
  • 10) 0,239 999 999 999 781 721 6 × 2 = 0 + 0,479 999 999 999 563 443 2;
  • 11) 0,479 999 999 999 563 443 2 × 2 = 0 + 0,959 999 999 999 126 886 4;
  • 12) 0,959 999 999 999 126 886 4 × 2 = 1 + 0,919 999 999 998 253 772 8;
  • 13) 0,919 999 999 998 253 772 8 × 2 = 1 + 0,839 999 999 996 507 545 6;
  • 14) 0,839 999 999 996 507 545 6 × 2 = 1 + 0,679 999 999 993 015 091 2;
  • 15) 0,679 999 999 993 015 091 2 × 2 = 1 + 0,359 999 999 986 030 182 4;
  • 16) 0,359 999 999 986 030 182 4 × 2 = 0 + 0,719 999 999 972 060 364 8;
  • 17) 0,719 999 999 972 060 364 8 × 2 = 1 + 0,439 999 999 944 120 729 6;
  • 18) 0,439 999 999 944 120 729 6 × 2 = 0 + 0,879 999 999 888 241 459 2;
  • 19) 0,879 999 999 888 241 459 2 × 2 = 1 + 0,759 999 999 776 482 918 4;
  • 20) 0,759 999 999 776 482 918 4 × 2 = 1 + 0,519 999 999 552 965 836 8;
  • 21) 0,519 999 999 552 965 836 8 × 2 = 1 + 0,039 999 999 105 931 673 6;
  • 22) 0,039 999 999 105 931 673 6 × 2 = 0 + 0,079 999 998 211 863 347 2;
  • 23) 0,079 999 998 211 863 347 2 × 2 = 0 + 0,159 999 996 423 726 694 4;
  • 24) 0,159 999 996 423 726 694 4 × 2 = 0 + 0,319 999 992 847 453 388 8;
  • 25) 0,319 999 992 847 453 388 8 × 2 = 0 + 0,639 999 985 694 906 777 6;
  • 26) 0,639 999 985 694 906 777 6 × 2 = 1 + 0,279 999 971 389 813 555 2;
  • 27) 0,279 999 971 389 813 555 2 × 2 = 0 + 0,559 999 942 779 627 110 4;
  • 28) 0,559 999 942 779 627 110 4 × 2 = 1 + 0,119 999 885 559 254 220 8;
  • 29) 0,119 999 885 559 254 220 8 × 2 = 0 + 0,239 999 771 118 508 441 6;
  • 30) 0,239 999 771 118 508 441 6 × 2 = 0 + 0,479 999 542 237 016 883 2;
  • 31) 0,479 999 542 237 016 883 2 × 2 = 0 + 0,959 999 084 474 033 766 4;
  • 32) 0,959 999 084 474 033 766 4 × 2 = 1 + 0,919 998 168 948 067 532 8;
  • 33) 0,919 998 168 948 067 532 8 × 2 = 1 + 0,839 996 337 896 135 065 6;
  • 34) 0,839 996 337 896 135 065 6 × 2 = 1 + 0,679 992 675 792 270 131 2;
  • 35) 0,679 992 675 792 270 131 2 × 2 = 1 + 0,359 985 351 584 540 262 4;
  • 36) 0,359 985 351 584 540 262 4 × 2 = 0 + 0,719 970 703 169 080 524 8;
  • 37) 0,719 970 703 169 080 524 8 × 2 = 1 + 0,439 941 406 338 161 049 6;
  • 38) 0,439 941 406 338 161 049 6 × 2 = 0 + 0,879 882 812 676 322 099 2;
  • 39) 0,879 882 812 676 322 099 2 × 2 = 1 + 0,759 765 625 352 644 198 4;
  • 40) 0,759 765 625 352 644 198 4 × 2 = 1 + 0,519 531 250 705 288 396 8;
  • 41) 0,519 531 250 705 288 396 8 × 2 = 1 + 0,039 062 501 410 576 793 6;
  • 42) 0,039 062 501 410 576 793 6 × 2 = 0 + 0,078 125 002 821 153 587 2;
  • 43) 0,078 125 002 821 153 587 2 × 2 = 0 + 0,156 250 005 642 307 174 4;
  • 44) 0,156 250 005 642 307 174 4 × 2 = 0 + 0,312 500 011 284 614 348 8;
  • 45) 0,312 500 011 284 614 348 8 × 2 = 0 + 0,625 000 022 569 228 697 6;
  • 46) 0,625 000 022 569 228 697 6 × 2 = 1 + 0,250 000 045 138 457 395 2;
  • 47) 0,250 000 045 138 457 395 2 × 2 = 0 + 0,500 000 090 276 914 790 4;
  • 48) 0,500 000 090 276 914 790 4 × 2 = 1 + 0,000 000 180 553 829 580 8;
  • 49) 0,000 000 180 553 829 580 8 × 2 = 0 + 0,000 000 361 107 659 161 6;
  • 50) 0,000 000 361 107 659 161 6 × 2 = 0 + 0,000 000 722 215 318 323 2;
  • 51) 0,000 000 722 215 318 323 2 × 2 = 0 + 0,000 001 444 430 636 646 4;
  • 52) 0,000 001 444 430 636 646 4 × 2 = 0 + 0,000 002 888 861 273 292 8;
  • 53) 0,000 002 888 861 273 292 8 × 2 = 0 + 0,000 005 777 722 546 585 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,269 999 999 999 999 573 675(10) =

0,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

18,269 999 999 999 999 573 675(10) =

1 0010,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


18,269 999 999 999 999 573 675(10) =

1 0010,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2) =

1 0010,0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2) × 20 =

1,0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0 0000 =

0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101


Numărul zecimal 18,269 999 999 999 999 573 675 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0010 0100 0101 0001 1110 1011 1000 0101 0001 1110 1011 1000 0101

Distribuie

» Scriere 18,269 999 999 999 999 573 579 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100