2,000 000 029 802 321 913 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,000 000 029 802 321 913 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,000 000 029 802 321 913 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 000 029 802 321 913 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 000 029 802 321 913 7 × 2 = 0 + 0,000 000 059 604 643 827 4;
  • 2) 0,000 000 059 604 643 827 4 × 2 = 0 + 0,000 000 119 209 287 654 8;
  • 3) 0,000 000 119 209 287 654 8 × 2 = 0 + 0,000 000 238 418 575 309 6;
  • 4) 0,000 000 238 418 575 309 6 × 2 = 0 + 0,000 000 476 837 150 619 2;
  • 5) 0,000 000 476 837 150 619 2 × 2 = 0 + 0,000 000 953 674 301 238 4;
  • 6) 0,000 000 953 674 301 238 4 × 2 = 0 + 0,000 001 907 348 602 476 8;
  • 7) 0,000 001 907 348 602 476 8 × 2 = 0 + 0,000 003 814 697 204 953 6;
  • 8) 0,000 003 814 697 204 953 6 × 2 = 0 + 0,000 007 629 394 409 907 2;
  • 9) 0,000 007 629 394 409 907 2 × 2 = 0 + 0,000 015 258 788 819 814 4;
  • 10) 0,000 015 258 788 819 814 4 × 2 = 0 + 0,000 030 517 577 639 628 8;
  • 11) 0,000 030 517 577 639 628 8 × 2 = 0 + 0,000 061 035 155 279 257 6;
  • 12) 0,000 061 035 155 279 257 6 × 2 = 0 + 0,000 122 070 310 558 515 2;
  • 13) 0,000 122 070 310 558 515 2 × 2 = 0 + 0,000 244 140 621 117 030 4;
  • 14) 0,000 244 140 621 117 030 4 × 2 = 0 + 0,000 488 281 242 234 060 8;
  • 15) 0,000 488 281 242 234 060 8 × 2 = 0 + 0,000 976 562 484 468 121 6;
  • 16) 0,000 976 562 484 468 121 6 × 2 = 0 + 0,001 953 124 968 936 243 2;
  • 17) 0,001 953 124 968 936 243 2 × 2 = 0 + 0,003 906 249 937 872 486 4;
  • 18) 0,003 906 249 937 872 486 4 × 2 = 0 + 0,007 812 499 875 744 972 8;
  • 19) 0,007 812 499 875 744 972 8 × 2 = 0 + 0,015 624 999 751 489 945 6;
  • 20) 0,015 624 999 751 489 945 6 × 2 = 0 + 0,031 249 999 502 979 891 2;
  • 21) 0,031 249 999 502 979 891 2 × 2 = 0 + 0,062 499 999 005 959 782 4;
  • 22) 0,062 499 999 005 959 782 4 × 2 = 0 + 0,124 999 998 011 919 564 8;
  • 23) 0,124 999 998 011 919 564 8 × 2 = 0 + 0,249 999 996 023 839 129 6;
  • 24) 0,249 999 996 023 839 129 6 × 2 = 0 + 0,499 999 992 047 678 259 2;
  • 25) 0,499 999 992 047 678 259 2 × 2 = 0 + 0,999 999 984 095 356 518 4;
  • 26) 0,999 999 984 095 356 518 4 × 2 = 1 + 0,999 999 968 190 713 036 8;
  • 27) 0,999 999 968 190 713 036 8 × 2 = 1 + 0,999 999 936 381 426 073 6;
  • 28) 0,999 999 936 381 426 073 6 × 2 = 1 + 0,999 999 872 762 852 147 2;
  • 29) 0,999 999 872 762 852 147 2 × 2 = 1 + 0,999 999 745 525 704 294 4;
  • 30) 0,999 999 745 525 704 294 4 × 2 = 1 + 0,999 999 491 051 408 588 8;
  • 31) 0,999 999 491 051 408 588 8 × 2 = 1 + 0,999 998 982 102 817 177 6;
  • 32) 0,999 998 982 102 817 177 6 × 2 = 1 + 0,999 997 964 205 634 355 2;
  • 33) 0,999 997 964 205 634 355 2 × 2 = 1 + 0,999 995 928 411 268 710 4;
  • 34) 0,999 995 928 411 268 710 4 × 2 = 1 + 0,999 991 856 822 537 420 8;
  • 35) 0,999 991 856 822 537 420 8 × 2 = 1 + 0,999 983 713 645 074 841 6;
  • 36) 0,999 983 713 645 074 841 6 × 2 = 1 + 0,999 967 427 290 149 683 2;
  • 37) 0,999 967 427 290 149 683 2 × 2 = 1 + 0,999 934 854 580 299 366 4;
  • 38) 0,999 934 854 580 299 366 4 × 2 = 1 + 0,999 869 709 160 598 732 8;
  • 39) 0,999 869 709 160 598 732 8 × 2 = 1 + 0,999 739 418 321 197 465 6;
  • 40) 0,999 739 418 321 197 465 6 × 2 = 1 + 0,999 478 836 642 394 931 2;
  • 41) 0,999 478 836 642 394 931 2 × 2 = 1 + 0,998 957 673 284 789 862 4;
  • 42) 0,998 957 673 284 789 862 4 × 2 = 1 + 0,997 915 346 569 579 724 8;
  • 43) 0,997 915 346 569 579 724 8 × 2 = 1 + 0,995 830 693 139 159 449 6;
  • 44) 0,995 830 693 139 159 449 6 × 2 = 1 + 0,991 661 386 278 318 899 2;
  • 45) 0,991 661 386 278 318 899 2 × 2 = 1 + 0,983 322 772 556 637 798 4;
  • 46) 0,983 322 772 556 637 798 4 × 2 = 1 + 0,966 645 545 113 275 596 8;
  • 47) 0,966 645 545 113 275 596 8 × 2 = 1 + 0,933 291 090 226 551 193 6;
  • 48) 0,933 291 090 226 551 193 6 × 2 = 1 + 0,866 582 180 453 102 387 2;
  • 49) 0,866 582 180 453 102 387 2 × 2 = 1 + 0,733 164 360 906 204 774 4;
  • 50) 0,733 164 360 906 204 774 4 × 2 = 1 + 0,466 328 721 812 409 548 8;
  • 51) 0,466 328 721 812 409 548 8 × 2 = 0 + 0,932 657 443 624 819 097 6;
  • 52) 0,932 657 443 624 819 097 6 × 2 = 1 + 0,865 314 887 249 638 195 2;
  • 53) 0,865 314 887 249 638 195 2 × 2 = 1 + 0,730 629 774 499 276 390 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 000 029 802 321 913 7(10) =

0,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,000 000 029 802 321 913 7(10) =

10,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,000 000 029 802 321 913 7(10) =

10,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2) =

10,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 1(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1110 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1110 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1110 11 =

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1110


Numărul zecimal 2,000 000 029 802 321 913 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011 1111 1111 1111 1111 1111 1110

» Scriere 2,000 000 029 802 321 922 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100