2,222 222 222 222 223 01 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,222 222 222 222 223 01(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,222 222 222 222 223 01(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,222 222 222 222 223 01.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,222 222 222 222 223 01 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 446 02;
  • 2) 0,444 444 444 444 446 02 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 892 04;
  • 3) 0,888 888 888 888 892 04 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 784 08;
  • 4) 0,777 777 777 777 784 08 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 568 16;
  • 5) 0,555 555 555 555 568 16 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 136 32;
  • 6) 0,111 111 111 111 136 32 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 272 64;
  • 7) 0,222 222 222 222 272 64 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 545 28;
  • 8) 0,444 444 444 444 545 28 × 2 = 0 + 0,888 888 888 889 090 56;
  • 9) 0,888 888 888 889 090 56 × 2 = 1 + 0,777 777 777 778 181 12;
  • 10) 0,777 777 777 778 181 12 × 2 = 1 + 0,555 555 555 556 362 24;
  • 11) 0,555 555 555 556 362 24 × 2 = 1 + 0,111 111 111 112 724 48;
  • 12) 0,111 111 111 112 724 48 × 2 = 0 + 0,222 222 222 225 448 96;
  • 13) 0,222 222 222 225 448 96 × 2 = 0 + 0,444 444 444 450 897 92;
  • 14) 0,444 444 444 450 897 92 × 2 = 0 + 0,888 888 888 901 795 84;
  • 15) 0,888 888 888 901 795 84 × 2 = 1 + 0,777 777 777 803 591 68;
  • 16) 0,777 777 777 803 591 68 × 2 = 1 + 0,555 555 555 607 183 36;
  • 17) 0,555 555 555 607 183 36 × 2 = 1 + 0,111 111 111 214 366 72;
  • 18) 0,111 111 111 214 366 72 × 2 = 0 + 0,222 222 222 428 733 44;
  • 19) 0,222 222 222 428 733 44 × 2 = 0 + 0,444 444 444 857 466 88;
  • 20) 0,444 444 444 857 466 88 × 2 = 0 + 0,888 888 889 714 933 76;
  • 21) 0,888 888 889 714 933 76 × 2 = 1 + 0,777 777 779 429 867 52;
  • 22) 0,777 777 779 429 867 52 × 2 = 1 + 0,555 555 558 859 735 04;
  • 23) 0,555 555 558 859 735 04 × 2 = 1 + 0,111 111 117 719 470 08;
  • 24) 0,111 111 117 719 470 08 × 2 = 0 + 0,222 222 235 438 940 16;
  • 25) 0,222 222 235 438 940 16 × 2 = 0 + 0,444 444 470 877 880 32;
  • 26) 0,444 444 470 877 880 32 × 2 = 0 + 0,888 888 941 755 760 64;
  • 27) 0,888 888 941 755 760 64 × 2 = 1 + 0,777 777 883 511 521 28;
  • 28) 0,777 777 883 511 521 28 × 2 = 1 + 0,555 555 767 023 042 56;
  • 29) 0,555 555 767 023 042 56 × 2 = 1 + 0,111 111 534 046 085 12;
  • 30) 0,111 111 534 046 085 12 × 2 = 0 + 0,222 223 068 092 170 24;
  • 31) 0,222 223 068 092 170 24 × 2 = 0 + 0,444 446 136 184 340 48;
  • 32) 0,444 446 136 184 340 48 × 2 = 0 + 0,888 892 272 368 680 96;
  • 33) 0,888 892 272 368 680 96 × 2 = 1 + 0,777 784 544 737 361 92;
  • 34) 0,777 784 544 737 361 92 × 2 = 1 + 0,555 569 089 474 723 84;
  • 35) 0,555 569 089 474 723 84 × 2 = 1 + 0,111 138 178 949 447 68;
  • 36) 0,111 138 178 949 447 68 × 2 = 0 + 0,222 276 357 898 895 36;
  • 37) 0,222 276 357 898 895 36 × 2 = 0 + 0,444 552 715 797 790 72;
  • 38) 0,444 552 715 797 790 72 × 2 = 0 + 0,889 105 431 595 581 44;
  • 39) 0,889 105 431 595 581 44 × 2 = 1 + 0,778 210 863 191 162 88;
  • 40) 0,778 210 863 191 162 88 × 2 = 1 + 0,556 421 726 382 325 76;
  • 41) 0,556 421 726 382 325 76 × 2 = 1 + 0,112 843 452 764 651 52;
  • 42) 0,112 843 452 764 651 52 × 2 = 0 + 0,225 686 905 529 303 04;
  • 43) 0,225 686 905 529 303 04 × 2 = 0 + 0,451 373 811 058 606 08;
  • 44) 0,451 373 811 058 606 08 × 2 = 0 + 0,902 747 622 117 212 16;
  • 45) 0,902 747 622 117 212 16 × 2 = 1 + 0,805 495 244 234 424 32;
  • 46) 0,805 495 244 234 424 32 × 2 = 1 + 0,610 990 488 468 848 64;
  • 47) 0,610 990 488 468 848 64 × 2 = 1 + 0,221 980 976 937 697 28;
  • 48) 0,221 980 976 937 697 28 × 2 = 0 + 0,443 961 953 875 394 56;
  • 49) 0,443 961 953 875 394 56 × 2 = 0 + 0,887 923 907 750 789 12;
  • 50) 0,887 923 907 750 789 12 × 2 = 1 + 0,775 847 815 501 578 24;
  • 51) 0,775 847 815 501 578 24 × 2 = 1 + 0,551 695 631 003 156 48;
  • 52) 0,551 695 631 003 156 48 × 2 = 1 + 0,103 391 262 006 312 96;
  • 53) 0,103 391 262 006 312 96 × 2 = 0 + 0,206 782 524 012 625 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,222 222 222 222 223 01(10) =

0,0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,222 222 222 222 223 01(10) =

10,0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,222 222 222 222 223 01(10) =

10,0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0111 0(2) =

10,0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0011 1000 1110 0111 0(2) × 20 =

1,0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0011 10(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0011 10


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0011 10 =

0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0011


Numărul zecimal 2,222 222 222 222 223 01 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0011

Distribuie

» Scriere 2,222 222 222 222 223 88 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100