2,225 073 858 507 201 375 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,225 073 858 507 201 375 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,225 073 858 507 201 375 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,225 073 858 507 201 375 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,225 073 858 507 201 375 3 × 2 = 0 + 0,450 147 717 014 402 750 6;
  • 2) 0,450 147 717 014 402 750 6 × 2 = 0 + 0,900 295 434 028 805 501 2;
  • 3) 0,900 295 434 028 805 501 2 × 2 = 1 + 0,800 590 868 057 611 002 4;
  • 4) 0,800 590 868 057 611 002 4 × 2 = 1 + 0,601 181 736 115 222 004 8;
  • 5) 0,601 181 736 115 222 004 8 × 2 = 1 + 0,202 363 472 230 444 009 6;
  • 6) 0,202 363 472 230 444 009 6 × 2 = 0 + 0,404 726 944 460 888 019 2;
  • 7) 0,404 726 944 460 888 019 2 × 2 = 0 + 0,809 453 888 921 776 038 4;
  • 8) 0,809 453 888 921 776 038 4 × 2 = 1 + 0,618 907 777 843 552 076 8;
  • 9) 0,618 907 777 843 552 076 8 × 2 = 1 + 0,237 815 555 687 104 153 6;
  • 10) 0,237 815 555 687 104 153 6 × 2 = 0 + 0,475 631 111 374 208 307 2;
  • 11) 0,475 631 111 374 208 307 2 × 2 = 0 + 0,951 262 222 748 416 614 4;
  • 12) 0,951 262 222 748 416 614 4 × 2 = 1 + 0,902 524 445 496 833 228 8;
  • 13) 0,902 524 445 496 833 228 8 × 2 = 1 + 0,805 048 890 993 666 457 6;
  • 14) 0,805 048 890 993 666 457 6 × 2 = 1 + 0,610 097 781 987 332 915 2;
  • 15) 0,610 097 781 987 332 915 2 × 2 = 1 + 0,220 195 563 974 665 830 4;
  • 16) 0,220 195 563 974 665 830 4 × 2 = 0 + 0,440 391 127 949 331 660 8;
  • 17) 0,440 391 127 949 331 660 8 × 2 = 0 + 0,880 782 255 898 663 321 6;
  • 18) 0,880 782 255 898 663 321 6 × 2 = 1 + 0,761 564 511 797 326 643 2;
  • 19) 0,761 564 511 797 326 643 2 × 2 = 1 + 0,523 129 023 594 653 286 4;
  • 20) 0,523 129 023 594 653 286 4 × 2 = 1 + 0,046 258 047 189 306 572 8;
  • 21) 0,046 258 047 189 306 572 8 × 2 = 0 + 0,092 516 094 378 613 145 6;
  • 22) 0,092 516 094 378 613 145 6 × 2 = 0 + 0,185 032 188 757 226 291 2;
  • 23) 0,185 032 188 757 226 291 2 × 2 = 0 + 0,370 064 377 514 452 582 4;
  • 24) 0,370 064 377 514 452 582 4 × 2 = 0 + 0,740 128 755 028 905 164 8;
  • 25) 0,740 128 755 028 905 164 8 × 2 = 1 + 0,480 257 510 057 810 329 6;
  • 26) 0,480 257 510 057 810 329 6 × 2 = 0 + 0,960 515 020 115 620 659 2;
  • 27) 0,960 515 020 115 620 659 2 × 2 = 1 + 0,921 030 040 231 241 318 4;
  • 28) 0,921 030 040 231 241 318 4 × 2 = 1 + 0,842 060 080 462 482 636 8;
  • 29) 0,842 060 080 462 482 636 8 × 2 = 1 + 0,684 120 160 924 965 273 6;
  • 30) 0,684 120 160 924 965 273 6 × 2 = 1 + 0,368 240 321 849 930 547 2;
  • 31) 0,368 240 321 849 930 547 2 × 2 = 0 + 0,736 480 643 699 861 094 4;
  • 32) 0,736 480 643 699 861 094 4 × 2 = 1 + 0,472 961 287 399 722 188 8;
  • 33) 0,472 961 287 399 722 188 8 × 2 = 0 + 0,945 922 574 799 444 377 6;
  • 34) 0,945 922 574 799 444 377 6 × 2 = 1 + 0,891 845 149 598 888 755 2;
  • 35) 0,891 845 149 598 888 755 2 × 2 = 1 + 0,783 690 299 197 777 510 4;
  • 36) 0,783 690 299 197 777 510 4 × 2 = 1 + 0,567 380 598 395 555 020 8;
  • 37) 0,567 380 598 395 555 020 8 × 2 = 1 + 0,134 761 196 791 110 041 6;
  • 38) 0,134 761 196 791 110 041 6 × 2 = 0 + 0,269 522 393 582 220 083 2;
  • 39) 0,269 522 393 582 220 083 2 × 2 = 0 + 0,539 044 787 164 440 166 4;
  • 40) 0,539 044 787 164 440 166 4 × 2 = 1 + 0,078 089 574 328 880 332 8;
  • 41) 0,078 089 574 328 880 332 8 × 2 = 0 + 0,156 179 148 657 760 665 6;
  • 42) 0,156 179 148 657 760 665 6 × 2 = 0 + 0,312 358 297 315 521 331 2;
  • 43) 0,312 358 297 315 521 331 2 × 2 = 0 + 0,624 716 594 631 042 662 4;
  • 44) 0,624 716 594 631 042 662 4 × 2 = 1 + 0,249 433 189 262 085 324 8;
  • 45) 0,249 433 189 262 085 324 8 × 2 = 0 + 0,498 866 378 524 170 649 6;
  • 46) 0,498 866 378 524 170 649 6 × 2 = 0 + 0,997 732 757 048 341 299 2;
  • 47) 0,997 732 757 048 341 299 2 × 2 = 1 + 0,995 465 514 096 682 598 4;
  • 48) 0,995 465 514 096 682 598 4 × 2 = 1 + 0,990 931 028 193 365 196 8;
  • 49) 0,990 931 028 193 365 196 8 × 2 = 1 + 0,981 862 056 386 730 393 6;
  • 50) 0,981 862 056 386 730 393 6 × 2 = 1 + 0,963 724 112 773 460 787 2;
  • 51) 0,963 724 112 773 460 787 2 × 2 = 1 + 0,927 448 225 546 921 574 4;
  • 52) 0,927 448 225 546 921 574 4 × 2 = 1 + 0,854 896 451 093 843 148 8;
  • 53) 0,854 896 451 093 843 148 8 × 2 = 1 + 0,709 792 902 187 686 297 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,225 073 858 507 201 375 3(10) =

0,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,225 073 858 507 201 375 3(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,225 073 858 507 201 375 3(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) × 20 =

1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11 =

0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


Numărul zecimal 2,225 073 858 507 201 375 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111

Distribuie

» Scriere 2,225 073 858 507 201 367 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100