2,225 073 858 507 201 381 52 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,225 073 858 507 201 381 52(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,225 073 858 507 201 381 52(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,225 073 858 507 201 381 52.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,225 073 858 507 201 381 52 × 2 = 0 + 0,450 147 717 014 402 763 04;
  • 2) 0,450 147 717 014 402 763 04 × 2 = 0 + 0,900 295 434 028 805 526 08;
  • 3) 0,900 295 434 028 805 526 08 × 2 = 1 + 0,800 590 868 057 611 052 16;
  • 4) 0,800 590 868 057 611 052 16 × 2 = 1 + 0,601 181 736 115 222 104 32;
  • 5) 0,601 181 736 115 222 104 32 × 2 = 1 + 0,202 363 472 230 444 208 64;
  • 6) 0,202 363 472 230 444 208 64 × 2 = 0 + 0,404 726 944 460 888 417 28;
  • 7) 0,404 726 944 460 888 417 28 × 2 = 0 + 0,809 453 888 921 776 834 56;
  • 8) 0,809 453 888 921 776 834 56 × 2 = 1 + 0,618 907 777 843 553 669 12;
  • 9) 0,618 907 777 843 553 669 12 × 2 = 1 + 0,237 815 555 687 107 338 24;
  • 10) 0,237 815 555 687 107 338 24 × 2 = 0 + 0,475 631 111 374 214 676 48;
  • 11) 0,475 631 111 374 214 676 48 × 2 = 0 + 0,951 262 222 748 429 352 96;
  • 12) 0,951 262 222 748 429 352 96 × 2 = 1 + 0,902 524 445 496 858 705 92;
  • 13) 0,902 524 445 496 858 705 92 × 2 = 1 + 0,805 048 890 993 717 411 84;
  • 14) 0,805 048 890 993 717 411 84 × 2 = 1 + 0,610 097 781 987 434 823 68;
  • 15) 0,610 097 781 987 434 823 68 × 2 = 1 + 0,220 195 563 974 869 647 36;
  • 16) 0,220 195 563 974 869 647 36 × 2 = 0 + 0,440 391 127 949 739 294 72;
  • 17) 0,440 391 127 949 739 294 72 × 2 = 0 + 0,880 782 255 899 478 589 44;
  • 18) 0,880 782 255 899 478 589 44 × 2 = 1 + 0,761 564 511 798 957 178 88;
  • 19) 0,761 564 511 798 957 178 88 × 2 = 1 + 0,523 129 023 597 914 357 76;
  • 20) 0,523 129 023 597 914 357 76 × 2 = 1 + 0,046 258 047 195 828 715 52;
  • 21) 0,046 258 047 195 828 715 52 × 2 = 0 + 0,092 516 094 391 657 431 04;
  • 22) 0,092 516 094 391 657 431 04 × 2 = 0 + 0,185 032 188 783 314 862 08;
  • 23) 0,185 032 188 783 314 862 08 × 2 = 0 + 0,370 064 377 566 629 724 16;
  • 24) 0,370 064 377 566 629 724 16 × 2 = 0 + 0,740 128 755 133 259 448 32;
  • 25) 0,740 128 755 133 259 448 32 × 2 = 1 + 0,480 257 510 266 518 896 64;
  • 26) 0,480 257 510 266 518 896 64 × 2 = 0 + 0,960 515 020 533 037 793 28;
  • 27) 0,960 515 020 533 037 793 28 × 2 = 1 + 0,921 030 041 066 075 586 56;
  • 28) 0,921 030 041 066 075 586 56 × 2 = 1 + 0,842 060 082 132 151 173 12;
  • 29) 0,842 060 082 132 151 173 12 × 2 = 1 + 0,684 120 164 264 302 346 24;
  • 30) 0,684 120 164 264 302 346 24 × 2 = 1 + 0,368 240 328 528 604 692 48;
  • 31) 0,368 240 328 528 604 692 48 × 2 = 0 + 0,736 480 657 057 209 384 96;
  • 32) 0,736 480 657 057 209 384 96 × 2 = 1 + 0,472 961 314 114 418 769 92;
  • 33) 0,472 961 314 114 418 769 92 × 2 = 0 + 0,945 922 628 228 837 539 84;
  • 34) 0,945 922 628 228 837 539 84 × 2 = 1 + 0,891 845 256 457 675 079 68;
  • 35) 0,891 845 256 457 675 079 68 × 2 = 1 + 0,783 690 512 915 350 159 36;
  • 36) 0,783 690 512 915 350 159 36 × 2 = 1 + 0,567 381 025 830 700 318 72;
  • 37) 0,567 381 025 830 700 318 72 × 2 = 1 + 0,134 762 051 661 400 637 44;
  • 38) 0,134 762 051 661 400 637 44 × 2 = 0 + 0,269 524 103 322 801 274 88;
  • 39) 0,269 524 103 322 801 274 88 × 2 = 0 + 0,539 048 206 645 602 549 76;
  • 40) 0,539 048 206 645 602 549 76 × 2 = 1 + 0,078 096 413 291 205 099 52;
  • 41) 0,078 096 413 291 205 099 52 × 2 = 0 + 0,156 192 826 582 410 199 04;
  • 42) 0,156 192 826 582 410 199 04 × 2 = 0 + 0,312 385 653 164 820 398 08;
  • 43) 0,312 385 653 164 820 398 08 × 2 = 0 + 0,624 771 306 329 640 796 16;
  • 44) 0,624 771 306 329 640 796 16 × 2 = 1 + 0,249 542 612 659 281 592 32;
  • 45) 0,249 542 612 659 281 592 32 × 2 = 0 + 0,499 085 225 318 563 184 64;
  • 46) 0,499 085 225 318 563 184 64 × 2 = 0 + 0,998 170 450 637 126 369 28;
  • 47) 0,998 170 450 637 126 369 28 × 2 = 1 + 0,996 340 901 274 252 738 56;
  • 48) 0,996 340 901 274 252 738 56 × 2 = 1 + 0,992 681 802 548 505 477 12;
  • 49) 0,992 681 802 548 505 477 12 × 2 = 1 + 0,985 363 605 097 010 954 24;
  • 50) 0,985 363 605 097 010 954 24 × 2 = 1 + 0,970 727 210 194 021 908 48;
  • 51) 0,970 727 210 194 021 908 48 × 2 = 1 + 0,941 454 420 388 043 816 96;
  • 52) 0,941 454 420 388 043 816 96 × 2 = 1 + 0,882 908 840 776 087 633 92;
  • 53) 0,882 908 840 776 087 633 92 × 2 = 1 + 0,765 817 681 552 175 267 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,225 073 858 507 201 381 52(10) =

0,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,225 073 858 507 201 381 52(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,225 073 858 507 201 381 52(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) × 20 =

1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11 =

0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


Numărul zecimal 2,225 073 858 507 201 381 52 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111

Distribuie

» Scriere 2,225 073 858 507 201 380 68 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100