2,225 073 858 507 201 381 82 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,225 073 858 507 201 381 82(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,225 073 858 507 201 381 82(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,225 073 858 507 201 381 82.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,225 073 858 507 201 381 82 × 2 = 0 + 0,450 147 717 014 402 763 64;
  • 2) 0,450 147 717 014 402 763 64 × 2 = 0 + 0,900 295 434 028 805 527 28;
  • 3) 0,900 295 434 028 805 527 28 × 2 = 1 + 0,800 590 868 057 611 054 56;
  • 4) 0,800 590 868 057 611 054 56 × 2 = 1 + 0,601 181 736 115 222 109 12;
  • 5) 0,601 181 736 115 222 109 12 × 2 = 1 + 0,202 363 472 230 444 218 24;
  • 6) 0,202 363 472 230 444 218 24 × 2 = 0 + 0,404 726 944 460 888 436 48;
  • 7) 0,404 726 944 460 888 436 48 × 2 = 0 + 0,809 453 888 921 776 872 96;
  • 8) 0,809 453 888 921 776 872 96 × 2 = 1 + 0,618 907 777 843 553 745 92;
  • 9) 0,618 907 777 843 553 745 92 × 2 = 1 + 0,237 815 555 687 107 491 84;
  • 10) 0,237 815 555 687 107 491 84 × 2 = 0 + 0,475 631 111 374 214 983 68;
  • 11) 0,475 631 111 374 214 983 68 × 2 = 0 + 0,951 262 222 748 429 967 36;
  • 12) 0,951 262 222 748 429 967 36 × 2 = 1 + 0,902 524 445 496 859 934 72;
  • 13) 0,902 524 445 496 859 934 72 × 2 = 1 + 0,805 048 890 993 719 869 44;
  • 14) 0,805 048 890 993 719 869 44 × 2 = 1 + 0,610 097 781 987 439 738 88;
  • 15) 0,610 097 781 987 439 738 88 × 2 = 1 + 0,220 195 563 974 879 477 76;
  • 16) 0,220 195 563 974 879 477 76 × 2 = 0 + 0,440 391 127 949 758 955 52;
  • 17) 0,440 391 127 949 758 955 52 × 2 = 0 + 0,880 782 255 899 517 911 04;
  • 18) 0,880 782 255 899 517 911 04 × 2 = 1 + 0,761 564 511 799 035 822 08;
  • 19) 0,761 564 511 799 035 822 08 × 2 = 1 + 0,523 129 023 598 071 644 16;
  • 20) 0,523 129 023 598 071 644 16 × 2 = 1 + 0,046 258 047 196 143 288 32;
  • 21) 0,046 258 047 196 143 288 32 × 2 = 0 + 0,092 516 094 392 286 576 64;
  • 22) 0,092 516 094 392 286 576 64 × 2 = 0 + 0,185 032 188 784 573 153 28;
  • 23) 0,185 032 188 784 573 153 28 × 2 = 0 + 0,370 064 377 569 146 306 56;
  • 24) 0,370 064 377 569 146 306 56 × 2 = 0 + 0,740 128 755 138 292 613 12;
  • 25) 0,740 128 755 138 292 613 12 × 2 = 1 + 0,480 257 510 276 585 226 24;
  • 26) 0,480 257 510 276 585 226 24 × 2 = 0 + 0,960 515 020 553 170 452 48;
  • 27) 0,960 515 020 553 170 452 48 × 2 = 1 + 0,921 030 041 106 340 904 96;
  • 28) 0,921 030 041 106 340 904 96 × 2 = 1 + 0,842 060 082 212 681 809 92;
  • 29) 0,842 060 082 212 681 809 92 × 2 = 1 + 0,684 120 164 425 363 619 84;
  • 30) 0,684 120 164 425 363 619 84 × 2 = 1 + 0,368 240 328 850 727 239 68;
  • 31) 0,368 240 328 850 727 239 68 × 2 = 0 + 0,736 480 657 701 454 479 36;
  • 32) 0,736 480 657 701 454 479 36 × 2 = 1 + 0,472 961 315 402 908 958 72;
  • 33) 0,472 961 315 402 908 958 72 × 2 = 0 + 0,945 922 630 805 817 917 44;
  • 34) 0,945 922 630 805 817 917 44 × 2 = 1 + 0,891 845 261 611 635 834 88;
  • 35) 0,891 845 261 611 635 834 88 × 2 = 1 + 0,783 690 523 223 271 669 76;
  • 36) 0,783 690 523 223 271 669 76 × 2 = 1 + 0,567 381 046 446 543 339 52;
  • 37) 0,567 381 046 446 543 339 52 × 2 = 1 + 0,134 762 092 893 086 679 04;
  • 38) 0,134 762 092 893 086 679 04 × 2 = 0 + 0,269 524 185 786 173 358 08;
  • 39) 0,269 524 185 786 173 358 08 × 2 = 0 + 0,539 048 371 572 346 716 16;
  • 40) 0,539 048 371 572 346 716 16 × 2 = 1 + 0,078 096 743 144 693 432 32;
  • 41) 0,078 096 743 144 693 432 32 × 2 = 0 + 0,156 193 486 289 386 864 64;
  • 42) 0,156 193 486 289 386 864 64 × 2 = 0 + 0,312 386 972 578 773 729 28;
  • 43) 0,312 386 972 578 773 729 28 × 2 = 0 + 0,624 773 945 157 547 458 56;
  • 44) 0,624 773 945 157 547 458 56 × 2 = 1 + 0,249 547 890 315 094 917 12;
  • 45) 0,249 547 890 315 094 917 12 × 2 = 0 + 0,499 095 780 630 189 834 24;
  • 46) 0,499 095 780 630 189 834 24 × 2 = 0 + 0,998 191 561 260 379 668 48;
  • 47) 0,998 191 561 260 379 668 48 × 2 = 1 + 0,996 383 122 520 759 336 96;
  • 48) 0,996 383 122 520 759 336 96 × 2 = 1 + 0,992 766 245 041 518 673 92;
  • 49) 0,992 766 245 041 518 673 92 × 2 = 1 + 0,985 532 490 083 037 347 84;
  • 50) 0,985 532 490 083 037 347 84 × 2 = 1 + 0,971 064 980 166 074 695 68;
  • 51) 0,971 064 980 166 074 695 68 × 2 = 1 + 0,942 129 960 332 149 391 36;
  • 52) 0,942 129 960 332 149 391 36 × 2 = 1 + 0,884 259 920 664 298 782 72;
  • 53) 0,884 259 920 664 298 782 72 × 2 = 1 + 0,768 519 841 328 597 565 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,225 073 858 507 201 381 82(10) =

0,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,225 073 858 507 201 381 82(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,225 073 858 507 201 381 82(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) × 20 =

1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11 =

0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


Numărul zecimal 2,225 073 858 507 201 381 82 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111

Distribuie

» Scriere 2,225 073 858 507 201 381 45 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100