2,225 073 858 507 201 383 090 232 79 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,225 073 858 507 201 383 090 232 79(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,225 073 858 507 201 383 090 232 79(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,225 073 858 507 201 383 090 232 79.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,225 073 858 507 201 383 090 232 79 × 2 = 0 + 0,450 147 717 014 402 766 180 465 58;
  • 2) 0,450 147 717 014 402 766 180 465 58 × 2 = 0 + 0,900 295 434 028 805 532 360 931 16;
  • 3) 0,900 295 434 028 805 532 360 931 16 × 2 = 1 + 0,800 590 868 057 611 064 721 862 32;
  • 4) 0,800 590 868 057 611 064 721 862 32 × 2 = 1 + 0,601 181 736 115 222 129 443 724 64;
  • 5) 0,601 181 736 115 222 129 443 724 64 × 2 = 1 + 0,202 363 472 230 444 258 887 449 28;
  • 6) 0,202 363 472 230 444 258 887 449 28 × 2 = 0 + 0,404 726 944 460 888 517 774 898 56;
  • 7) 0,404 726 944 460 888 517 774 898 56 × 2 = 0 + 0,809 453 888 921 777 035 549 797 12;
  • 8) 0,809 453 888 921 777 035 549 797 12 × 2 = 1 + 0,618 907 777 843 554 071 099 594 24;
  • 9) 0,618 907 777 843 554 071 099 594 24 × 2 = 1 + 0,237 815 555 687 108 142 199 188 48;
  • 10) 0,237 815 555 687 108 142 199 188 48 × 2 = 0 + 0,475 631 111 374 216 284 398 376 96;
  • 11) 0,475 631 111 374 216 284 398 376 96 × 2 = 0 + 0,951 262 222 748 432 568 796 753 92;
  • 12) 0,951 262 222 748 432 568 796 753 92 × 2 = 1 + 0,902 524 445 496 865 137 593 507 84;
  • 13) 0,902 524 445 496 865 137 593 507 84 × 2 = 1 + 0,805 048 890 993 730 275 187 015 68;
  • 14) 0,805 048 890 993 730 275 187 015 68 × 2 = 1 + 0,610 097 781 987 460 550 374 031 36;
  • 15) 0,610 097 781 987 460 550 374 031 36 × 2 = 1 + 0,220 195 563 974 921 100 748 062 72;
  • 16) 0,220 195 563 974 921 100 748 062 72 × 2 = 0 + 0,440 391 127 949 842 201 496 125 44;
  • 17) 0,440 391 127 949 842 201 496 125 44 × 2 = 0 + 0,880 782 255 899 684 402 992 250 88;
  • 18) 0,880 782 255 899 684 402 992 250 88 × 2 = 1 + 0,761 564 511 799 368 805 984 501 76;
  • 19) 0,761 564 511 799 368 805 984 501 76 × 2 = 1 + 0,523 129 023 598 737 611 969 003 52;
  • 20) 0,523 129 023 598 737 611 969 003 52 × 2 = 1 + 0,046 258 047 197 475 223 938 007 04;
  • 21) 0,046 258 047 197 475 223 938 007 04 × 2 = 0 + 0,092 516 094 394 950 447 876 014 08;
  • 22) 0,092 516 094 394 950 447 876 014 08 × 2 = 0 + 0,185 032 188 789 900 895 752 028 16;
  • 23) 0,185 032 188 789 900 895 752 028 16 × 2 = 0 + 0,370 064 377 579 801 791 504 056 32;
  • 24) 0,370 064 377 579 801 791 504 056 32 × 2 = 0 + 0,740 128 755 159 603 583 008 112 64;
  • 25) 0,740 128 755 159 603 583 008 112 64 × 2 = 1 + 0,480 257 510 319 207 166 016 225 28;
  • 26) 0,480 257 510 319 207 166 016 225 28 × 2 = 0 + 0,960 515 020 638 414 332 032 450 56;
  • 27) 0,960 515 020 638 414 332 032 450 56 × 2 = 1 + 0,921 030 041 276 828 664 064 901 12;
  • 28) 0,921 030 041 276 828 664 064 901 12 × 2 = 1 + 0,842 060 082 553 657 328 129 802 24;
  • 29) 0,842 060 082 553 657 328 129 802 24 × 2 = 1 + 0,684 120 165 107 314 656 259 604 48;
  • 30) 0,684 120 165 107 314 656 259 604 48 × 2 = 1 + 0,368 240 330 214 629 312 519 208 96;
  • 31) 0,368 240 330 214 629 312 519 208 96 × 2 = 0 + 0,736 480 660 429 258 625 038 417 92;
  • 32) 0,736 480 660 429 258 625 038 417 92 × 2 = 1 + 0,472 961 320 858 517 250 076 835 84;
  • 33) 0,472 961 320 858 517 250 076 835 84 × 2 = 0 + 0,945 922 641 717 034 500 153 671 68;
  • 34) 0,945 922 641 717 034 500 153 671 68 × 2 = 1 + 0,891 845 283 434 069 000 307 343 36;
  • 35) 0,891 845 283 434 069 000 307 343 36 × 2 = 1 + 0,783 690 566 868 138 000 614 686 72;
  • 36) 0,783 690 566 868 138 000 614 686 72 × 2 = 1 + 0,567 381 133 736 276 001 229 373 44;
  • 37) 0,567 381 133 736 276 001 229 373 44 × 2 = 1 + 0,134 762 267 472 552 002 458 746 88;
  • 38) 0,134 762 267 472 552 002 458 746 88 × 2 = 0 + 0,269 524 534 945 104 004 917 493 76;
  • 39) 0,269 524 534 945 104 004 917 493 76 × 2 = 0 + 0,539 049 069 890 208 009 834 987 52;
  • 40) 0,539 049 069 890 208 009 834 987 52 × 2 = 1 + 0,078 098 139 780 416 019 669 975 04;
  • 41) 0,078 098 139 780 416 019 669 975 04 × 2 = 0 + 0,156 196 279 560 832 039 339 950 08;
  • 42) 0,156 196 279 560 832 039 339 950 08 × 2 = 0 + 0,312 392 559 121 664 078 679 900 16;
  • 43) 0,312 392 559 121 664 078 679 900 16 × 2 = 0 + 0,624 785 118 243 328 157 359 800 32;
  • 44) 0,624 785 118 243 328 157 359 800 32 × 2 = 1 + 0,249 570 236 486 656 314 719 600 64;
  • 45) 0,249 570 236 486 656 314 719 600 64 × 2 = 0 + 0,499 140 472 973 312 629 439 201 28;
  • 46) 0,499 140 472 973 312 629 439 201 28 × 2 = 0 + 0,998 280 945 946 625 258 878 402 56;
  • 47) 0,998 280 945 946 625 258 878 402 56 × 2 = 1 + 0,996 561 891 893 250 517 756 805 12;
  • 48) 0,996 561 891 893 250 517 756 805 12 × 2 = 1 + 0,993 123 783 786 501 035 513 610 24;
  • 49) 0,993 123 783 786 501 035 513 610 24 × 2 = 1 + 0,986 247 567 573 002 071 027 220 48;
  • 50) 0,986 247 567 573 002 071 027 220 48 × 2 = 1 + 0,972 495 135 146 004 142 054 440 96;
  • 51) 0,972 495 135 146 004 142 054 440 96 × 2 = 1 + 0,944 990 270 292 008 284 108 881 92;
  • 52) 0,944 990 270 292 008 284 108 881 92 × 2 = 1 + 0,889 980 540 584 016 568 217 763 84;
  • 53) 0,889 980 540 584 016 568 217 763 84 × 2 = 1 + 0,779 961 081 168 033 136 435 527 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,225 073 858 507 201 383 090 232 79(10) =

0,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,225 073 858 507 201 383 090 232 79(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,225 073 858 507 201 383 090 232 79(10) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) =

10,0011 1001 1001 1110 0111 0000 1011 1101 0111 1001 0001 0011 1111 1(2) × 20 =

1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111 11 =

0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111


Numărul zecimal 2,225 073 858 507 201 383 090 232 79 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0001 1100 1100 1111 0011 1000 0101 1110 1011 1100 1000 1001 1111

Distribuie

» Scriere 2,225 073 858 507 201 383 090 231 82 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100