2,356 194 490 192 344 928 847 025 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,356 194 490 192 344 928 847 025 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,356 194 490 192 344 928 847 025 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,356 194 490 192 344 928 847 025 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,356 194 490 192 344 928 847 025 9 × 2 = 0 + 0,712 388 980 384 689 857 694 051 8;
  • 2) 0,712 388 980 384 689 857 694 051 8 × 2 = 1 + 0,424 777 960 769 379 715 388 103 6;
  • 3) 0,424 777 960 769 379 715 388 103 6 × 2 = 0 + 0,849 555 921 538 759 430 776 207 2;
  • 4) 0,849 555 921 538 759 430 776 207 2 × 2 = 1 + 0,699 111 843 077 518 861 552 414 4;
  • 5) 0,699 111 843 077 518 861 552 414 4 × 2 = 1 + 0,398 223 686 155 037 723 104 828 8;
  • 6) 0,398 223 686 155 037 723 104 828 8 × 2 = 0 + 0,796 447 372 310 075 446 209 657 6;
  • 7) 0,796 447 372 310 075 446 209 657 6 × 2 = 1 + 0,592 894 744 620 150 892 419 315 2;
  • 8) 0,592 894 744 620 150 892 419 315 2 × 2 = 1 + 0,185 789 489 240 301 784 838 630 4;
  • 9) 0,185 789 489 240 301 784 838 630 4 × 2 = 0 + 0,371 578 978 480 603 569 677 260 8;
  • 10) 0,371 578 978 480 603 569 677 260 8 × 2 = 0 + 0,743 157 956 961 207 139 354 521 6;
  • 11) 0,743 157 956 961 207 139 354 521 6 × 2 = 1 + 0,486 315 913 922 414 278 709 043 2;
  • 12) 0,486 315 913 922 414 278 709 043 2 × 2 = 0 + 0,972 631 827 844 828 557 418 086 4;
  • 13) 0,972 631 827 844 828 557 418 086 4 × 2 = 1 + 0,945 263 655 689 657 114 836 172 8;
  • 14) 0,945 263 655 689 657 114 836 172 8 × 2 = 1 + 0,890 527 311 379 314 229 672 345 6;
  • 15) 0,890 527 311 379 314 229 672 345 6 × 2 = 1 + 0,781 054 622 758 628 459 344 691 2;
  • 16) 0,781 054 622 758 628 459 344 691 2 × 2 = 1 + 0,562 109 245 517 256 918 689 382 4;
  • 17) 0,562 109 245 517 256 918 689 382 4 × 2 = 1 + 0,124 218 491 034 513 837 378 764 8;
  • 18) 0,124 218 491 034 513 837 378 764 8 × 2 = 0 + 0,248 436 982 069 027 674 757 529 6;
  • 19) 0,248 436 982 069 027 674 757 529 6 × 2 = 0 + 0,496 873 964 138 055 349 515 059 2;
  • 20) 0,496 873 964 138 055 349 515 059 2 × 2 = 0 + 0,993 747 928 276 110 699 030 118 4;
  • 21) 0,993 747 928 276 110 699 030 118 4 × 2 = 1 + 0,987 495 856 552 221 398 060 236 8;
  • 22) 0,987 495 856 552 221 398 060 236 8 × 2 = 1 + 0,974 991 713 104 442 796 120 473 6;
  • 23) 0,974 991 713 104 442 796 120 473 6 × 2 = 1 + 0,949 983 426 208 885 592 240 947 2;
  • 24) 0,949 983 426 208 885 592 240 947 2 × 2 = 1 + 0,899 966 852 417 771 184 481 894 4;
  • 25) 0,899 966 852 417 771 184 481 894 4 × 2 = 1 + 0,799 933 704 835 542 368 963 788 8;
  • 26) 0,799 933 704 835 542 368 963 788 8 × 2 = 1 + 0,599 867 409 671 084 737 927 577 6;
  • 27) 0,599 867 409 671 084 737 927 577 6 × 2 = 1 + 0,199 734 819 342 169 475 855 155 2;
  • 28) 0,199 734 819 342 169 475 855 155 2 × 2 = 0 + 0,399 469 638 684 338 951 710 310 4;
  • 29) 0,399 469 638 684 338 951 710 310 4 × 2 = 0 + 0,798 939 277 368 677 903 420 620 8;
  • 30) 0,798 939 277 368 677 903 420 620 8 × 2 = 1 + 0,597 878 554 737 355 806 841 241 6;
  • 31) 0,597 878 554 737 355 806 841 241 6 × 2 = 1 + 0,195 757 109 474 711 613 682 483 2;
  • 32) 0,195 757 109 474 711 613 682 483 2 × 2 = 0 + 0,391 514 218 949 423 227 364 966 4;
  • 33) 0,391 514 218 949 423 227 364 966 4 × 2 = 0 + 0,783 028 437 898 846 454 729 932 8;
  • 34) 0,783 028 437 898 846 454 729 932 8 × 2 = 1 + 0,566 056 875 797 692 909 459 865 6;
  • 35) 0,566 056 875 797 692 909 459 865 6 × 2 = 1 + 0,132 113 751 595 385 818 919 731 2;
  • 36) 0,132 113 751 595 385 818 919 731 2 × 2 = 0 + 0,264 227 503 190 771 637 839 462 4;
  • 37) 0,264 227 503 190 771 637 839 462 4 × 2 = 0 + 0,528 455 006 381 543 275 678 924 8;
  • 38) 0,528 455 006 381 543 275 678 924 8 × 2 = 1 + 0,056 910 012 763 086 551 357 849 6;
  • 39) 0,056 910 012 763 086 551 357 849 6 × 2 = 0 + 0,113 820 025 526 173 102 715 699 2;
  • 40) 0,113 820 025 526 173 102 715 699 2 × 2 = 0 + 0,227 640 051 052 346 205 431 398 4;
  • 41) 0,227 640 051 052 346 205 431 398 4 × 2 = 0 + 0,455 280 102 104 692 410 862 796 8;
  • 42) 0,455 280 102 104 692 410 862 796 8 × 2 = 0 + 0,910 560 204 209 384 821 725 593 6;
  • 43) 0,910 560 204 209 384 821 725 593 6 × 2 = 1 + 0,821 120 408 418 769 643 451 187 2;
  • 44) 0,821 120 408 418 769 643 451 187 2 × 2 = 1 + 0,642 240 816 837 539 286 902 374 4;
  • 45) 0,642 240 816 837 539 286 902 374 4 × 2 = 1 + 0,284 481 633 675 078 573 804 748 8;
  • 46) 0,284 481 633 675 078 573 804 748 8 × 2 = 0 + 0,568 963 267 350 157 147 609 497 6;
  • 47) 0,568 963 267 350 157 147 609 497 6 × 2 = 1 + 0,137 926 534 700 314 295 218 995 2;
  • 48) 0,137 926 534 700 314 295 218 995 2 × 2 = 0 + 0,275 853 069 400 628 590 437 990 4;
  • 49) 0,275 853 069 400 628 590 437 990 4 × 2 = 0 + 0,551 706 138 801 257 180 875 980 8;
  • 50) 0,551 706 138 801 257 180 875 980 8 × 2 = 1 + 0,103 412 277 602 514 361 751 961 6;
  • 51) 0,103 412 277 602 514 361 751 961 6 × 2 = 0 + 0,206 824 555 205 028 723 503 923 2;
  • 52) 0,206 824 555 205 028 723 503 923 2 × 2 = 0 + 0,413 649 110 410 057 447 007 846 4;
  • 53) 0,413 649 110 410 057 447 007 846 4 × 2 = 0 + 0,827 298 220 820 114 894 015 692 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,356 194 490 192 344 928 847 025 9(10) =

0,0101 1011 0010 1111 1000 1111 1110 0110 0110 0100 0011 1010 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,356 194 490 192 344 928 847 025 9(10) =

10,0101 1011 0010 1111 1000 1111 1110 0110 0110 0100 0011 1010 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,356 194 490 192 344 928 847 025 9(10) =

10,0101 1011 0010 1111 1000 1111 1110 0110 0110 0100 0011 1010 0100 0(2) =

10,0101 1011 0010 1111 1000 1111 1110 0110 0110 0100 0011 1010 0100 0(2) × 20 =

1,0010 1101 1001 0111 1100 0111 1111 0011 0011 0010 0001 1101 0010 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1101 1001 0111 1100 0111 1111 0011 0011 0010 0001 1101 0010 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1101 1001 0111 1100 0111 1111 0011 0011 0010 0001 1101 0010 00 =

0010 1101 1001 0111 1100 0111 1111 0011 0011 0010 0001 1101 0010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1101 1001 0111 1100 0111 1111 0011 0011 0010 0001 1101 0010


Numărul zecimal 2,356 194 490 192 344 928 847 025 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0010 1101 1001 0111 1100 0111 1111 0011 0011 0010 0001 1101 0010

Distribuie

» Scriere 2,356 194 490 192 344 928 847 02 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100