2,560 879 601 235 235 278 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,560 879 601 235 235 278 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,560 879 601 235 235 278 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,560 879 601 235 235 278 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,560 879 601 235 235 278 9 × 2 = 1 + 0,121 759 202 470 470 557 8;
  • 2) 0,121 759 202 470 470 557 8 × 2 = 0 + 0,243 518 404 940 941 115 6;
  • 3) 0,243 518 404 940 941 115 6 × 2 = 0 + 0,487 036 809 881 882 231 2;
  • 4) 0,487 036 809 881 882 231 2 × 2 = 0 + 0,974 073 619 763 764 462 4;
  • 5) 0,974 073 619 763 764 462 4 × 2 = 1 + 0,948 147 239 527 528 924 8;
  • 6) 0,948 147 239 527 528 924 8 × 2 = 1 + 0,896 294 479 055 057 849 6;
  • 7) 0,896 294 479 055 057 849 6 × 2 = 1 + 0,792 588 958 110 115 699 2;
  • 8) 0,792 588 958 110 115 699 2 × 2 = 1 + 0,585 177 916 220 231 398 4;
  • 9) 0,585 177 916 220 231 398 4 × 2 = 1 + 0,170 355 832 440 462 796 8;
  • 10) 0,170 355 832 440 462 796 8 × 2 = 0 + 0,340 711 664 880 925 593 6;
  • 11) 0,340 711 664 880 925 593 6 × 2 = 0 + 0,681 423 329 761 851 187 2;
  • 12) 0,681 423 329 761 851 187 2 × 2 = 1 + 0,362 846 659 523 702 374 4;
  • 13) 0,362 846 659 523 702 374 4 × 2 = 0 + 0,725 693 319 047 404 748 8;
  • 14) 0,725 693 319 047 404 748 8 × 2 = 1 + 0,451 386 638 094 809 497 6;
  • 15) 0,451 386 638 094 809 497 6 × 2 = 0 + 0,902 773 276 189 618 995 2;
  • 16) 0,902 773 276 189 618 995 2 × 2 = 1 + 0,805 546 552 379 237 990 4;
  • 17) 0,805 546 552 379 237 990 4 × 2 = 1 + 0,611 093 104 758 475 980 8;
  • 18) 0,611 093 104 758 475 980 8 × 2 = 1 + 0,222 186 209 516 951 961 6;
  • 19) 0,222 186 209 516 951 961 6 × 2 = 0 + 0,444 372 419 033 903 923 2;
  • 20) 0,444 372 419 033 903 923 2 × 2 = 0 + 0,888 744 838 067 807 846 4;
  • 21) 0,888 744 838 067 807 846 4 × 2 = 1 + 0,777 489 676 135 615 692 8;
  • 22) 0,777 489 676 135 615 692 8 × 2 = 1 + 0,554 979 352 271 231 385 6;
  • 23) 0,554 979 352 271 231 385 6 × 2 = 1 + 0,109 958 704 542 462 771 2;
  • 24) 0,109 958 704 542 462 771 2 × 2 = 0 + 0,219 917 409 084 925 542 4;
  • 25) 0,219 917 409 084 925 542 4 × 2 = 0 + 0,439 834 818 169 851 084 8;
  • 26) 0,439 834 818 169 851 084 8 × 2 = 0 + 0,879 669 636 339 702 169 6;
  • 27) 0,879 669 636 339 702 169 6 × 2 = 1 + 0,759 339 272 679 404 339 2;
  • 28) 0,759 339 272 679 404 339 2 × 2 = 1 + 0,518 678 545 358 808 678 4;
  • 29) 0,518 678 545 358 808 678 4 × 2 = 1 + 0,037 357 090 717 617 356 8;
  • 30) 0,037 357 090 717 617 356 8 × 2 = 0 + 0,074 714 181 435 234 713 6;
  • 31) 0,074 714 181 435 234 713 6 × 2 = 0 + 0,149 428 362 870 469 427 2;
  • 32) 0,149 428 362 870 469 427 2 × 2 = 0 + 0,298 856 725 740 938 854 4;
  • 33) 0,298 856 725 740 938 854 4 × 2 = 0 + 0,597 713 451 481 877 708 8;
  • 34) 0,597 713 451 481 877 708 8 × 2 = 1 + 0,195 426 902 963 755 417 6;
  • 35) 0,195 426 902 963 755 417 6 × 2 = 0 + 0,390 853 805 927 510 835 2;
  • 36) 0,390 853 805 927 510 835 2 × 2 = 0 + 0,781 707 611 855 021 670 4;
  • 37) 0,781 707 611 855 021 670 4 × 2 = 1 + 0,563 415 223 710 043 340 8;
  • 38) 0,563 415 223 710 043 340 8 × 2 = 1 + 0,126 830 447 420 086 681 6;
  • 39) 0,126 830 447 420 086 681 6 × 2 = 0 + 0,253 660 894 840 173 363 2;
  • 40) 0,253 660 894 840 173 363 2 × 2 = 0 + 0,507 321 789 680 346 726 4;
  • 41) 0,507 321 789 680 346 726 4 × 2 = 1 + 0,014 643 579 360 693 452 8;
  • 42) 0,014 643 579 360 693 452 8 × 2 = 0 + 0,029 287 158 721 386 905 6;
  • 43) 0,029 287 158 721 386 905 6 × 2 = 0 + 0,058 574 317 442 773 811 2;
  • 44) 0,058 574 317 442 773 811 2 × 2 = 0 + 0,117 148 634 885 547 622 4;
  • 45) 0,117 148 634 885 547 622 4 × 2 = 0 + 0,234 297 269 771 095 244 8;
  • 46) 0,234 297 269 771 095 244 8 × 2 = 0 + 0,468 594 539 542 190 489 6;
  • 47) 0,468 594 539 542 190 489 6 × 2 = 0 + 0,937 189 079 084 380 979 2;
  • 48) 0,937 189 079 084 380 979 2 × 2 = 1 + 0,874 378 158 168 761 958 4;
  • 49) 0,874 378 158 168 761 958 4 × 2 = 1 + 0,748 756 316 337 523 916 8;
  • 50) 0,748 756 316 337 523 916 8 × 2 = 1 + 0,497 512 632 675 047 833 6;
  • 51) 0,497 512 632 675 047 833 6 × 2 = 0 + 0,995 025 265 350 095 667 2;
  • 52) 0,995 025 265 350 095 667 2 × 2 = 1 + 0,990 050 530 700 191 334 4;
  • 53) 0,990 050 530 700 191 334 4 × 2 = 1 + 0,980 101 061 400 382 668 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,560 879 601 235 235 278 9(10) =

0,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,560 879 601 235 235 278 9(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,560 879 601 235 235 278 9(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1101 1(2) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1101 1(2) × 20 =

1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1110 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1110 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1110 11 =

0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1110


Numărul zecimal 2,560 879 601 235 235 278 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1110

Distribuie

» Scriere 2,560 879 601 235 235 270 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 03, 2026 [Martie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Martie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100