2,560 879 601 235 235 285 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,560 879 601 235 235 285 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,560 879 601 235 235 285 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,560 879 601 235 235 285 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,560 879 601 235 235 285 2 × 2 = 1 + 0,121 759 202 470 470 570 4;
  • 2) 0,121 759 202 470 470 570 4 × 2 = 0 + 0,243 518 404 940 941 140 8;
  • 3) 0,243 518 404 940 941 140 8 × 2 = 0 + 0,487 036 809 881 882 281 6;
  • 4) 0,487 036 809 881 882 281 6 × 2 = 0 + 0,974 073 619 763 764 563 2;
  • 5) 0,974 073 619 763 764 563 2 × 2 = 1 + 0,948 147 239 527 529 126 4;
  • 6) 0,948 147 239 527 529 126 4 × 2 = 1 + 0,896 294 479 055 058 252 8;
  • 7) 0,896 294 479 055 058 252 8 × 2 = 1 + 0,792 588 958 110 116 505 6;
  • 8) 0,792 588 958 110 116 505 6 × 2 = 1 + 0,585 177 916 220 233 011 2;
  • 9) 0,585 177 916 220 233 011 2 × 2 = 1 + 0,170 355 832 440 466 022 4;
  • 10) 0,170 355 832 440 466 022 4 × 2 = 0 + 0,340 711 664 880 932 044 8;
  • 11) 0,340 711 664 880 932 044 8 × 2 = 0 + 0,681 423 329 761 864 089 6;
  • 12) 0,681 423 329 761 864 089 6 × 2 = 1 + 0,362 846 659 523 728 179 2;
  • 13) 0,362 846 659 523 728 179 2 × 2 = 0 + 0,725 693 319 047 456 358 4;
  • 14) 0,725 693 319 047 456 358 4 × 2 = 1 + 0,451 386 638 094 912 716 8;
  • 15) 0,451 386 638 094 912 716 8 × 2 = 0 + 0,902 773 276 189 825 433 6;
  • 16) 0,902 773 276 189 825 433 6 × 2 = 1 + 0,805 546 552 379 650 867 2;
  • 17) 0,805 546 552 379 650 867 2 × 2 = 1 + 0,611 093 104 759 301 734 4;
  • 18) 0,611 093 104 759 301 734 4 × 2 = 1 + 0,222 186 209 518 603 468 8;
  • 19) 0,222 186 209 518 603 468 8 × 2 = 0 + 0,444 372 419 037 206 937 6;
  • 20) 0,444 372 419 037 206 937 6 × 2 = 0 + 0,888 744 838 074 413 875 2;
  • 21) 0,888 744 838 074 413 875 2 × 2 = 1 + 0,777 489 676 148 827 750 4;
  • 22) 0,777 489 676 148 827 750 4 × 2 = 1 + 0,554 979 352 297 655 500 8;
  • 23) 0,554 979 352 297 655 500 8 × 2 = 1 + 0,109 958 704 595 311 001 6;
  • 24) 0,109 958 704 595 311 001 6 × 2 = 0 + 0,219 917 409 190 622 003 2;
  • 25) 0,219 917 409 190 622 003 2 × 2 = 0 + 0,439 834 818 381 244 006 4;
  • 26) 0,439 834 818 381 244 006 4 × 2 = 0 + 0,879 669 636 762 488 012 8;
  • 27) 0,879 669 636 762 488 012 8 × 2 = 1 + 0,759 339 273 524 976 025 6;
  • 28) 0,759 339 273 524 976 025 6 × 2 = 1 + 0,518 678 547 049 952 051 2;
  • 29) 0,518 678 547 049 952 051 2 × 2 = 1 + 0,037 357 094 099 904 102 4;
  • 30) 0,037 357 094 099 904 102 4 × 2 = 0 + 0,074 714 188 199 808 204 8;
  • 31) 0,074 714 188 199 808 204 8 × 2 = 0 + 0,149 428 376 399 616 409 6;
  • 32) 0,149 428 376 399 616 409 6 × 2 = 0 + 0,298 856 752 799 232 819 2;
  • 33) 0,298 856 752 799 232 819 2 × 2 = 0 + 0,597 713 505 598 465 638 4;
  • 34) 0,597 713 505 598 465 638 4 × 2 = 1 + 0,195 427 011 196 931 276 8;
  • 35) 0,195 427 011 196 931 276 8 × 2 = 0 + 0,390 854 022 393 862 553 6;
  • 36) 0,390 854 022 393 862 553 6 × 2 = 0 + 0,781 708 044 787 725 107 2;
  • 37) 0,781 708 044 787 725 107 2 × 2 = 1 + 0,563 416 089 575 450 214 4;
  • 38) 0,563 416 089 575 450 214 4 × 2 = 1 + 0,126 832 179 150 900 428 8;
  • 39) 0,126 832 179 150 900 428 8 × 2 = 0 + 0,253 664 358 301 800 857 6;
  • 40) 0,253 664 358 301 800 857 6 × 2 = 0 + 0,507 328 716 603 601 715 2;
  • 41) 0,507 328 716 603 601 715 2 × 2 = 1 + 0,014 657 433 207 203 430 4;
  • 42) 0,014 657 433 207 203 430 4 × 2 = 0 + 0,029 314 866 414 406 860 8;
  • 43) 0,029 314 866 414 406 860 8 × 2 = 0 + 0,058 629 732 828 813 721 6;
  • 44) 0,058 629 732 828 813 721 6 × 2 = 0 + 0,117 259 465 657 627 443 2;
  • 45) 0,117 259 465 657 627 443 2 × 2 = 0 + 0,234 518 931 315 254 886 4;
  • 46) 0,234 518 931 315 254 886 4 × 2 = 0 + 0,469 037 862 630 509 772 8;
  • 47) 0,469 037 862 630 509 772 8 × 2 = 0 + 0,938 075 725 261 019 545 6;
  • 48) 0,938 075 725 261 019 545 6 × 2 = 1 + 0,876 151 450 522 039 091 2;
  • 49) 0,876 151 450 522 039 091 2 × 2 = 1 + 0,752 302 901 044 078 182 4;
  • 50) 0,752 302 901 044 078 182 4 × 2 = 1 + 0,504 605 802 088 156 364 8;
  • 51) 0,504 605 802 088 156 364 8 × 2 = 1 + 0,009 211 604 176 312 729 6;
  • 52) 0,009 211 604 176 312 729 6 × 2 = 0 + 0,018 423 208 352 625 459 2;
  • 53) 0,018 423 208 352 625 459 2 × 2 = 0 + 0,036 846 416 705 250 918 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,560 879 601 235 235 285 2(10) =

0,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,560 879 601 235 235 285 2(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,560 879 601 235 235 285 2(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) × 20 =

1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00 =

0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


Numărul zecimal 2,560 879 601 235 235 285 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111

Distribuie

» Scriere 2,560 879 601 235 235 292 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 03, 2026 [Martie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Martie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100