2,560 879 601 235 235 325 098 774 26 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,560 879 601 235 235 325 098 774 26(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,560 879 601 235 235 325 098 774 26(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,560 879 601 235 235 325 098 774 26.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,560 879 601 235 235 325 098 774 26 × 2 = 1 + 0,121 759 202 470 470 650 197 548 52;
  • 2) 0,121 759 202 470 470 650 197 548 52 × 2 = 0 + 0,243 518 404 940 941 300 395 097 04;
  • 3) 0,243 518 404 940 941 300 395 097 04 × 2 = 0 + 0,487 036 809 881 882 600 790 194 08;
  • 4) 0,487 036 809 881 882 600 790 194 08 × 2 = 0 + 0,974 073 619 763 765 201 580 388 16;
  • 5) 0,974 073 619 763 765 201 580 388 16 × 2 = 1 + 0,948 147 239 527 530 403 160 776 32;
  • 6) 0,948 147 239 527 530 403 160 776 32 × 2 = 1 + 0,896 294 479 055 060 806 321 552 64;
  • 7) 0,896 294 479 055 060 806 321 552 64 × 2 = 1 + 0,792 588 958 110 121 612 643 105 28;
  • 8) 0,792 588 958 110 121 612 643 105 28 × 2 = 1 + 0,585 177 916 220 243 225 286 210 56;
  • 9) 0,585 177 916 220 243 225 286 210 56 × 2 = 1 + 0,170 355 832 440 486 450 572 421 12;
  • 10) 0,170 355 832 440 486 450 572 421 12 × 2 = 0 + 0,340 711 664 880 972 901 144 842 24;
  • 11) 0,340 711 664 880 972 901 144 842 24 × 2 = 0 + 0,681 423 329 761 945 802 289 684 48;
  • 12) 0,681 423 329 761 945 802 289 684 48 × 2 = 1 + 0,362 846 659 523 891 604 579 368 96;
  • 13) 0,362 846 659 523 891 604 579 368 96 × 2 = 0 + 0,725 693 319 047 783 209 158 737 92;
  • 14) 0,725 693 319 047 783 209 158 737 92 × 2 = 1 + 0,451 386 638 095 566 418 317 475 84;
  • 15) 0,451 386 638 095 566 418 317 475 84 × 2 = 0 + 0,902 773 276 191 132 836 634 951 68;
  • 16) 0,902 773 276 191 132 836 634 951 68 × 2 = 1 + 0,805 546 552 382 265 673 269 903 36;
  • 17) 0,805 546 552 382 265 673 269 903 36 × 2 = 1 + 0,611 093 104 764 531 346 539 806 72;
  • 18) 0,611 093 104 764 531 346 539 806 72 × 2 = 1 + 0,222 186 209 529 062 693 079 613 44;
  • 19) 0,222 186 209 529 062 693 079 613 44 × 2 = 0 + 0,444 372 419 058 125 386 159 226 88;
  • 20) 0,444 372 419 058 125 386 159 226 88 × 2 = 0 + 0,888 744 838 116 250 772 318 453 76;
  • 21) 0,888 744 838 116 250 772 318 453 76 × 2 = 1 + 0,777 489 676 232 501 544 636 907 52;
  • 22) 0,777 489 676 232 501 544 636 907 52 × 2 = 1 + 0,554 979 352 465 003 089 273 815 04;
  • 23) 0,554 979 352 465 003 089 273 815 04 × 2 = 1 + 0,109 958 704 930 006 178 547 630 08;
  • 24) 0,109 958 704 930 006 178 547 630 08 × 2 = 0 + 0,219 917 409 860 012 357 095 260 16;
  • 25) 0,219 917 409 860 012 357 095 260 16 × 2 = 0 + 0,439 834 819 720 024 714 190 520 32;
  • 26) 0,439 834 819 720 024 714 190 520 32 × 2 = 0 + 0,879 669 639 440 049 428 381 040 64;
  • 27) 0,879 669 639 440 049 428 381 040 64 × 2 = 1 + 0,759 339 278 880 098 856 762 081 28;
  • 28) 0,759 339 278 880 098 856 762 081 28 × 2 = 1 + 0,518 678 557 760 197 713 524 162 56;
  • 29) 0,518 678 557 760 197 713 524 162 56 × 2 = 1 + 0,037 357 115 520 395 427 048 325 12;
  • 30) 0,037 357 115 520 395 427 048 325 12 × 2 = 0 + 0,074 714 231 040 790 854 096 650 24;
  • 31) 0,074 714 231 040 790 854 096 650 24 × 2 = 0 + 0,149 428 462 081 581 708 193 300 48;
  • 32) 0,149 428 462 081 581 708 193 300 48 × 2 = 0 + 0,298 856 924 163 163 416 386 600 96;
  • 33) 0,298 856 924 163 163 416 386 600 96 × 2 = 0 + 0,597 713 848 326 326 832 773 201 92;
  • 34) 0,597 713 848 326 326 832 773 201 92 × 2 = 1 + 0,195 427 696 652 653 665 546 403 84;
  • 35) 0,195 427 696 652 653 665 546 403 84 × 2 = 0 + 0,390 855 393 305 307 331 092 807 68;
  • 36) 0,390 855 393 305 307 331 092 807 68 × 2 = 0 + 0,781 710 786 610 614 662 185 615 36;
  • 37) 0,781 710 786 610 614 662 185 615 36 × 2 = 1 + 0,563 421 573 221 229 324 371 230 72;
  • 38) 0,563 421 573 221 229 324 371 230 72 × 2 = 1 + 0,126 843 146 442 458 648 742 461 44;
  • 39) 0,126 843 146 442 458 648 742 461 44 × 2 = 0 + 0,253 686 292 884 917 297 484 922 88;
  • 40) 0,253 686 292 884 917 297 484 922 88 × 2 = 0 + 0,507 372 585 769 834 594 969 845 76;
  • 41) 0,507 372 585 769 834 594 969 845 76 × 2 = 1 + 0,014 745 171 539 669 189 939 691 52;
  • 42) 0,014 745 171 539 669 189 939 691 52 × 2 = 0 + 0,029 490 343 079 338 379 879 383 04;
  • 43) 0,029 490 343 079 338 379 879 383 04 × 2 = 0 + 0,058 980 686 158 676 759 758 766 08;
  • 44) 0,058 980 686 158 676 759 758 766 08 × 2 = 0 + 0,117 961 372 317 353 519 517 532 16;
  • 45) 0,117 961 372 317 353 519 517 532 16 × 2 = 0 + 0,235 922 744 634 707 039 035 064 32;
  • 46) 0,235 922 744 634 707 039 035 064 32 × 2 = 0 + 0,471 845 489 269 414 078 070 128 64;
  • 47) 0,471 845 489 269 414 078 070 128 64 × 2 = 0 + 0,943 690 978 538 828 156 140 257 28;
  • 48) 0,943 690 978 538 828 156 140 257 28 × 2 = 1 + 0,887 381 957 077 656 312 280 514 56;
  • 49) 0,887 381 957 077 656 312 280 514 56 × 2 = 1 + 0,774 763 914 155 312 624 561 029 12;
  • 50) 0,774 763 914 155 312 624 561 029 12 × 2 = 1 + 0,549 527 828 310 625 249 122 058 24;
  • 51) 0,549 527 828 310 625 249 122 058 24 × 2 = 1 + 0,099 055 656 621 250 498 244 116 48;
  • 52) 0,099 055 656 621 250 498 244 116 48 × 2 = 0 + 0,198 111 313 242 500 996 488 232 96;
  • 53) 0,198 111 313 242 500 996 488 232 96 × 2 = 0 + 0,396 222 626 485 001 992 976 465 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,560 879 601 235 235 325 098 774 26(10) =

0,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,560 879 601 235 235 325 098 774 26(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,560 879 601 235 235 325 098 774 26(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) × 20 =

1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00 =

0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


Numărul zecimal 2,560 879 601 235 235 325 098 774 26 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111

» Scriere 2,560 879 601 235 235 325 098 773 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100