2,560 879 601 235 235 327 8 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,560 879 601 235 235 327 8(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,560 879 601 235 235 327 8(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,560 879 601 235 235 327 8.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,560 879 601 235 235 327 8 × 2 = 1 + 0,121 759 202 470 470 655 6;
  • 2) 0,121 759 202 470 470 655 6 × 2 = 0 + 0,243 518 404 940 941 311 2;
  • 3) 0,243 518 404 940 941 311 2 × 2 = 0 + 0,487 036 809 881 882 622 4;
  • 4) 0,487 036 809 881 882 622 4 × 2 = 0 + 0,974 073 619 763 765 244 8;
  • 5) 0,974 073 619 763 765 244 8 × 2 = 1 + 0,948 147 239 527 530 489 6;
  • 6) 0,948 147 239 527 530 489 6 × 2 = 1 + 0,896 294 479 055 060 979 2;
  • 7) 0,896 294 479 055 060 979 2 × 2 = 1 + 0,792 588 958 110 121 958 4;
  • 8) 0,792 588 958 110 121 958 4 × 2 = 1 + 0,585 177 916 220 243 916 8;
  • 9) 0,585 177 916 220 243 916 8 × 2 = 1 + 0,170 355 832 440 487 833 6;
  • 10) 0,170 355 832 440 487 833 6 × 2 = 0 + 0,340 711 664 880 975 667 2;
  • 11) 0,340 711 664 880 975 667 2 × 2 = 0 + 0,681 423 329 761 951 334 4;
  • 12) 0,681 423 329 761 951 334 4 × 2 = 1 + 0,362 846 659 523 902 668 8;
  • 13) 0,362 846 659 523 902 668 8 × 2 = 0 + 0,725 693 319 047 805 337 6;
  • 14) 0,725 693 319 047 805 337 6 × 2 = 1 + 0,451 386 638 095 610 675 2;
  • 15) 0,451 386 638 095 610 675 2 × 2 = 0 + 0,902 773 276 191 221 350 4;
  • 16) 0,902 773 276 191 221 350 4 × 2 = 1 + 0,805 546 552 382 442 700 8;
  • 17) 0,805 546 552 382 442 700 8 × 2 = 1 + 0,611 093 104 764 885 401 6;
  • 18) 0,611 093 104 764 885 401 6 × 2 = 1 + 0,222 186 209 529 770 803 2;
  • 19) 0,222 186 209 529 770 803 2 × 2 = 0 + 0,444 372 419 059 541 606 4;
  • 20) 0,444 372 419 059 541 606 4 × 2 = 0 + 0,888 744 838 119 083 212 8;
  • 21) 0,888 744 838 119 083 212 8 × 2 = 1 + 0,777 489 676 238 166 425 6;
  • 22) 0,777 489 676 238 166 425 6 × 2 = 1 + 0,554 979 352 476 332 851 2;
  • 23) 0,554 979 352 476 332 851 2 × 2 = 1 + 0,109 958 704 952 665 702 4;
  • 24) 0,109 958 704 952 665 702 4 × 2 = 0 + 0,219 917 409 905 331 404 8;
  • 25) 0,219 917 409 905 331 404 8 × 2 = 0 + 0,439 834 819 810 662 809 6;
  • 26) 0,439 834 819 810 662 809 6 × 2 = 0 + 0,879 669 639 621 325 619 2;
  • 27) 0,879 669 639 621 325 619 2 × 2 = 1 + 0,759 339 279 242 651 238 4;
  • 28) 0,759 339 279 242 651 238 4 × 2 = 1 + 0,518 678 558 485 302 476 8;
  • 29) 0,518 678 558 485 302 476 8 × 2 = 1 + 0,037 357 116 970 604 953 6;
  • 30) 0,037 357 116 970 604 953 6 × 2 = 0 + 0,074 714 233 941 209 907 2;
  • 31) 0,074 714 233 941 209 907 2 × 2 = 0 + 0,149 428 467 882 419 814 4;
  • 32) 0,149 428 467 882 419 814 4 × 2 = 0 + 0,298 856 935 764 839 628 8;
  • 33) 0,298 856 935 764 839 628 8 × 2 = 0 + 0,597 713 871 529 679 257 6;
  • 34) 0,597 713 871 529 679 257 6 × 2 = 1 + 0,195 427 743 059 358 515 2;
  • 35) 0,195 427 743 059 358 515 2 × 2 = 0 + 0,390 855 486 118 717 030 4;
  • 36) 0,390 855 486 118 717 030 4 × 2 = 0 + 0,781 710 972 237 434 060 8;
  • 37) 0,781 710 972 237 434 060 8 × 2 = 1 + 0,563 421 944 474 868 121 6;
  • 38) 0,563 421 944 474 868 121 6 × 2 = 1 + 0,126 843 888 949 736 243 2;
  • 39) 0,126 843 888 949 736 243 2 × 2 = 0 + 0,253 687 777 899 472 486 4;
  • 40) 0,253 687 777 899 472 486 4 × 2 = 0 + 0,507 375 555 798 944 972 8;
  • 41) 0,507 375 555 798 944 972 8 × 2 = 1 + 0,014 751 111 597 889 945 6;
  • 42) 0,014 751 111 597 889 945 6 × 2 = 0 + 0,029 502 223 195 779 891 2;
  • 43) 0,029 502 223 195 779 891 2 × 2 = 0 + 0,059 004 446 391 559 782 4;
  • 44) 0,059 004 446 391 559 782 4 × 2 = 0 + 0,118 008 892 783 119 564 8;
  • 45) 0,118 008 892 783 119 564 8 × 2 = 0 + 0,236 017 785 566 239 129 6;
  • 46) 0,236 017 785 566 239 129 6 × 2 = 0 + 0,472 035 571 132 478 259 2;
  • 47) 0,472 035 571 132 478 259 2 × 2 = 0 + 0,944 071 142 264 956 518 4;
  • 48) 0,944 071 142 264 956 518 4 × 2 = 1 + 0,888 142 284 529 913 036 8;
  • 49) 0,888 142 284 529 913 036 8 × 2 = 1 + 0,776 284 569 059 826 073 6;
  • 50) 0,776 284 569 059 826 073 6 × 2 = 1 + 0,552 569 138 119 652 147 2;
  • 51) 0,552 569 138 119 652 147 2 × 2 = 1 + 0,105 138 276 239 304 294 4;
  • 52) 0,105 138 276 239 304 294 4 × 2 = 0 + 0,210 276 552 478 608 588 8;
  • 53) 0,210 276 552 478 608 588 8 × 2 = 0 + 0,420 553 104 957 217 177 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,560 879 601 235 235 327 8(10) =

0,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,560 879 601 235 235 327 8(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,560 879 601 235 235 327 8(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) × 20 =

1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00 =

0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


Numărul zecimal 2,560 879 601 235 235 327 8 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111

Distribuie

» Scriere 2,560 879 601 235 235 321 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100