2,560 879 601 235 235 333 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,560 879 601 235 235 333 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,560 879 601 235 235 333 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,560 879 601 235 235 333 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,560 879 601 235 235 333 9 × 2 = 1 + 0,121 759 202 470 470 667 8;
  • 2) 0,121 759 202 470 470 667 8 × 2 = 0 + 0,243 518 404 940 941 335 6;
  • 3) 0,243 518 404 940 941 335 6 × 2 = 0 + 0,487 036 809 881 882 671 2;
  • 4) 0,487 036 809 881 882 671 2 × 2 = 0 + 0,974 073 619 763 765 342 4;
  • 5) 0,974 073 619 763 765 342 4 × 2 = 1 + 0,948 147 239 527 530 684 8;
  • 6) 0,948 147 239 527 530 684 8 × 2 = 1 + 0,896 294 479 055 061 369 6;
  • 7) 0,896 294 479 055 061 369 6 × 2 = 1 + 0,792 588 958 110 122 739 2;
  • 8) 0,792 588 958 110 122 739 2 × 2 = 1 + 0,585 177 916 220 245 478 4;
  • 9) 0,585 177 916 220 245 478 4 × 2 = 1 + 0,170 355 832 440 490 956 8;
  • 10) 0,170 355 832 440 490 956 8 × 2 = 0 + 0,340 711 664 880 981 913 6;
  • 11) 0,340 711 664 880 981 913 6 × 2 = 0 + 0,681 423 329 761 963 827 2;
  • 12) 0,681 423 329 761 963 827 2 × 2 = 1 + 0,362 846 659 523 927 654 4;
  • 13) 0,362 846 659 523 927 654 4 × 2 = 0 + 0,725 693 319 047 855 308 8;
  • 14) 0,725 693 319 047 855 308 8 × 2 = 1 + 0,451 386 638 095 710 617 6;
  • 15) 0,451 386 638 095 710 617 6 × 2 = 0 + 0,902 773 276 191 421 235 2;
  • 16) 0,902 773 276 191 421 235 2 × 2 = 1 + 0,805 546 552 382 842 470 4;
  • 17) 0,805 546 552 382 842 470 4 × 2 = 1 + 0,611 093 104 765 684 940 8;
  • 18) 0,611 093 104 765 684 940 8 × 2 = 1 + 0,222 186 209 531 369 881 6;
  • 19) 0,222 186 209 531 369 881 6 × 2 = 0 + 0,444 372 419 062 739 763 2;
  • 20) 0,444 372 419 062 739 763 2 × 2 = 0 + 0,888 744 838 125 479 526 4;
  • 21) 0,888 744 838 125 479 526 4 × 2 = 1 + 0,777 489 676 250 959 052 8;
  • 22) 0,777 489 676 250 959 052 8 × 2 = 1 + 0,554 979 352 501 918 105 6;
  • 23) 0,554 979 352 501 918 105 6 × 2 = 1 + 0,109 958 705 003 836 211 2;
  • 24) 0,109 958 705 003 836 211 2 × 2 = 0 + 0,219 917 410 007 672 422 4;
  • 25) 0,219 917 410 007 672 422 4 × 2 = 0 + 0,439 834 820 015 344 844 8;
  • 26) 0,439 834 820 015 344 844 8 × 2 = 0 + 0,879 669 640 030 689 689 6;
  • 27) 0,879 669 640 030 689 689 6 × 2 = 1 + 0,759 339 280 061 379 379 2;
  • 28) 0,759 339 280 061 379 379 2 × 2 = 1 + 0,518 678 560 122 758 758 4;
  • 29) 0,518 678 560 122 758 758 4 × 2 = 1 + 0,037 357 120 245 517 516 8;
  • 30) 0,037 357 120 245 517 516 8 × 2 = 0 + 0,074 714 240 491 035 033 6;
  • 31) 0,074 714 240 491 035 033 6 × 2 = 0 + 0,149 428 480 982 070 067 2;
  • 32) 0,149 428 480 982 070 067 2 × 2 = 0 + 0,298 856 961 964 140 134 4;
  • 33) 0,298 856 961 964 140 134 4 × 2 = 0 + 0,597 713 923 928 280 268 8;
  • 34) 0,597 713 923 928 280 268 8 × 2 = 1 + 0,195 427 847 856 560 537 6;
  • 35) 0,195 427 847 856 560 537 6 × 2 = 0 + 0,390 855 695 713 121 075 2;
  • 36) 0,390 855 695 713 121 075 2 × 2 = 0 + 0,781 711 391 426 242 150 4;
  • 37) 0,781 711 391 426 242 150 4 × 2 = 1 + 0,563 422 782 852 484 300 8;
  • 38) 0,563 422 782 852 484 300 8 × 2 = 1 + 0,126 845 565 704 968 601 6;
  • 39) 0,126 845 565 704 968 601 6 × 2 = 0 + 0,253 691 131 409 937 203 2;
  • 40) 0,253 691 131 409 937 203 2 × 2 = 0 + 0,507 382 262 819 874 406 4;
  • 41) 0,507 382 262 819 874 406 4 × 2 = 1 + 0,014 764 525 639 748 812 8;
  • 42) 0,014 764 525 639 748 812 8 × 2 = 0 + 0,029 529 051 279 497 625 6;
  • 43) 0,029 529 051 279 497 625 6 × 2 = 0 + 0,059 058 102 558 995 251 2;
  • 44) 0,059 058 102 558 995 251 2 × 2 = 0 + 0,118 116 205 117 990 502 4;
  • 45) 0,118 116 205 117 990 502 4 × 2 = 0 + 0,236 232 410 235 981 004 8;
  • 46) 0,236 232 410 235 981 004 8 × 2 = 0 + 0,472 464 820 471 962 009 6;
  • 47) 0,472 464 820 471 962 009 6 × 2 = 0 + 0,944 929 640 943 924 019 2;
  • 48) 0,944 929 640 943 924 019 2 × 2 = 1 + 0,889 859 281 887 848 038 4;
  • 49) 0,889 859 281 887 848 038 4 × 2 = 1 + 0,779 718 563 775 696 076 8;
  • 50) 0,779 718 563 775 696 076 8 × 2 = 1 + 0,559 437 127 551 392 153 6;
  • 51) 0,559 437 127 551 392 153 6 × 2 = 1 + 0,118 874 255 102 784 307 2;
  • 52) 0,118 874 255 102 784 307 2 × 2 = 0 + 0,237 748 510 205 568 614 4;
  • 53) 0,237 748 510 205 568 614 4 × 2 = 0 + 0,475 497 020 411 137 228 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,560 879 601 235 235 333 9(10) =

0,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,560 879 601 235 235 333 9(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,560 879 601 235 235 333 9(10) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) =

10,1000 1111 1001 0101 1100 1110 0011 1000 0100 1100 1000 0001 1110 0(2) × 20 =

1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111 00 =

0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111


Numărul zecimal 2,560 879 601 235 235 333 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0100 0111 1100 1010 1110 0111 0001 1100 0010 0110 0100 0000 1111

Distribuie

» Scriere 2,560 879 601 235 235 343 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100