2,714 285 714 285 714 285 714 372 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,714 285 714 285 714 285 714 372 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,714 285 714 285 714 285 714 372 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,714 285 714 285 714 285 714 372 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,714 285 714 285 714 285 714 372 9 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 571 428 745 8;
  • 2) 0,428 571 428 571 428 571 428 745 8 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 142 857 491 6;
  • 3) 0,857 142 857 142 857 142 857 491 6 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 285 714 983 2;
  • 4) 0,714 285 714 285 714 285 714 983 2 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 571 429 966 4;
  • 5) 0,428 571 428 571 428 571 429 966 4 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 142 859 932 8;
  • 6) 0,857 142 857 142 857 142 859 932 8 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 285 719 865 6;
  • 7) 0,714 285 714 285 714 285 719 865 6 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 571 439 731 2;
  • 8) 0,428 571 428 571 428 571 439 731 2 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 142 879 462 4;
  • 9) 0,857 142 857 142 857 142 879 462 4 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 285 758 924 8;
  • 10) 0,714 285 714 285 714 285 758 924 8 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 571 517 849 6;
  • 11) 0,428 571 428 571 428 571 517 849 6 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 143 035 699 2;
  • 12) 0,857 142 857 142 857 143 035 699 2 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 286 071 398 4;
  • 13) 0,714 285 714 285 714 286 071 398 4 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 572 142 796 8;
  • 14) 0,428 571 428 571 428 572 142 796 8 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 144 285 593 6;
  • 15) 0,857 142 857 142 857 144 285 593 6 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 288 571 187 2;
  • 16) 0,714 285 714 285 714 288 571 187 2 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 577 142 374 4;
  • 17) 0,428 571 428 571 428 577 142 374 4 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 154 284 748 8;
  • 18) 0,857 142 857 142 857 154 284 748 8 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 308 569 497 6;
  • 19) 0,714 285 714 285 714 308 569 497 6 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 617 138 995 2;
  • 20) 0,428 571 428 571 428 617 138 995 2 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 234 277 990 4;
  • 21) 0,857 142 857 142 857 234 277 990 4 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 468 555 980 8;
  • 22) 0,714 285 714 285 714 468 555 980 8 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 937 111 961 6;
  • 23) 0,428 571 428 571 428 937 111 961 6 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 874 223 923 2;
  • 24) 0,857 142 857 142 857 874 223 923 2 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 715 748 447 846 4;
  • 25) 0,714 285 714 285 715 748 447 846 4 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 431 496 895 692 8;
  • 26) 0,428 571 428 571 431 496 895 692 8 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 862 993 791 385 6;
  • 27) 0,857 142 857 142 862 993 791 385 6 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 725 987 582 771 2;
  • 28) 0,714 285 714 285 725 987 582 771 2 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 451 975 165 542 4;
  • 29) 0,428 571 428 571 451 975 165 542 4 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 903 950 331 084 8;
  • 30) 0,857 142 857 142 903 950 331 084 8 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 807 900 662 169 6;
  • 31) 0,714 285 714 285 807 900 662 169 6 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 615 801 324 339 2;
  • 32) 0,428 571 428 571 615 801 324 339 2 × 2 = 0 + 0,857 142 857 143 231 602 648 678 4;
  • 33) 0,857 142 857 143 231 602 648 678 4 × 2 = 1 + 0,714 285 714 286 463 205 297 356 8;
  • 34) 0,714 285 714 286 463 205 297 356 8 × 2 = 1 + 0,428 571 428 572 926 410 594 713 6;
  • 35) 0,428 571 428 572 926 410 594 713 6 × 2 = 0 + 0,857 142 857 145 852 821 189 427 2;
  • 36) 0,857 142 857 145 852 821 189 427 2 × 2 = 1 + 0,714 285 714 291 705 642 378 854 4;
  • 37) 0,714 285 714 291 705 642 378 854 4 × 2 = 1 + 0,428 571 428 583 411 284 757 708 8;
  • 38) 0,428 571 428 583 411 284 757 708 8 × 2 = 0 + 0,857 142 857 166 822 569 515 417 6;
  • 39) 0,857 142 857 166 822 569 515 417 6 × 2 = 1 + 0,714 285 714 333 645 139 030 835 2;
  • 40) 0,714 285 714 333 645 139 030 835 2 × 2 = 1 + 0,428 571 428 667 290 278 061 670 4;
  • 41) 0,428 571 428 667 290 278 061 670 4 × 2 = 0 + 0,857 142 857 334 580 556 123 340 8;
  • 42) 0,857 142 857 334 580 556 123 340 8 × 2 = 1 + 0,714 285 714 669 161 112 246 681 6;
  • 43) 0,714 285 714 669 161 112 246 681 6 × 2 = 1 + 0,428 571 429 338 322 224 493 363 2;
  • 44) 0,428 571 429 338 322 224 493 363 2 × 2 = 0 + 0,857 142 858 676 644 448 986 726 4;
  • 45) 0,857 142 858 676 644 448 986 726 4 × 2 = 1 + 0,714 285 717 353 288 897 973 452 8;
  • 46) 0,714 285 717 353 288 897 973 452 8 × 2 = 1 + 0,428 571 434 706 577 795 946 905 6;
  • 47) 0,428 571 434 706 577 795 946 905 6 × 2 = 0 + 0,857 142 869 413 155 591 893 811 2;
  • 48) 0,857 142 869 413 155 591 893 811 2 × 2 = 1 + 0,714 285 738 826 311 183 787 622 4;
  • 49) 0,714 285 738 826 311 183 787 622 4 × 2 = 1 + 0,428 571 477 652 622 367 575 244 8;
  • 50) 0,428 571 477 652 622 367 575 244 8 × 2 = 0 + 0,857 142 955 305 244 735 150 489 6;
  • 51) 0,857 142 955 305 244 735 150 489 6 × 2 = 1 + 0,714 285 910 610 489 470 300 979 2;
  • 52) 0,714 285 910 610 489 470 300 979 2 × 2 = 1 + 0,428 571 821 220 978 940 601 958 4;
  • 53) 0,428 571 821 220 978 940 601 958 4 × 2 = 0 + 0,857 143 642 441 957 881 203 916 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,714 285 714 285 714 285 714 372 9(10) =

0,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,714 285 714 285 714 285 714 372 9(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,714 285 714 285 714 285 714 372 9(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2) × 20 =

1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 10(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 10


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 10 =

0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101


Numărul zecimal 2,714 285 714 285 714 285 714 372 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101

Distribuie

» Scriere 2,714 285 714 285 714 285 714 374 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100