2,714 285 714 285 714 291 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,714 285 714 285 714 291(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,714 285 714 285 714 291(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,714 285 714 285 714 291.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,714 285 714 285 714 291 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 582;
  • 2) 0,428 571 428 571 428 582 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 164;
  • 3) 0,857 142 857 142 857 164 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 328;
  • 4) 0,714 285 714 285 714 328 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 428 656;
  • 5) 0,428 571 428 571 428 656 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 857 312;
  • 6) 0,857 142 857 142 857 312 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 714 624;
  • 7) 0,714 285 714 285 714 624 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 429 248;
  • 8) 0,428 571 428 571 429 248 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 858 496;
  • 9) 0,857 142 857 142 858 496 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 716 992;
  • 10) 0,714 285 714 285 716 992 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 433 984;
  • 11) 0,428 571 428 571 433 984 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 867 968;
  • 12) 0,857 142 857 142 867 968 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 735 936;
  • 13) 0,714 285 714 285 735 936 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 471 872;
  • 14) 0,428 571 428 571 471 872 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 943 744;
  • 15) 0,857 142 857 142 943 744 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 887 488;
  • 16) 0,714 285 714 285 887 488 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 774 976;
  • 17) 0,428 571 428 571 774 976 × 2 = 0 + 0,857 142 857 143 549 952;
  • 18) 0,857 142 857 143 549 952 × 2 = 1 + 0,714 285 714 287 099 904;
  • 19) 0,714 285 714 287 099 904 × 2 = 1 + 0,428 571 428 574 199 808;
  • 20) 0,428 571 428 574 199 808 × 2 = 0 + 0,857 142 857 148 399 616;
  • 21) 0,857 142 857 148 399 616 × 2 = 1 + 0,714 285 714 296 799 232;
  • 22) 0,714 285 714 296 799 232 × 2 = 1 + 0,428 571 428 593 598 464;
  • 23) 0,428 571 428 593 598 464 × 2 = 0 + 0,857 142 857 187 196 928;
  • 24) 0,857 142 857 187 196 928 × 2 = 1 + 0,714 285 714 374 393 856;
  • 25) 0,714 285 714 374 393 856 × 2 = 1 + 0,428 571 428 748 787 712;
  • 26) 0,428 571 428 748 787 712 × 2 = 0 + 0,857 142 857 497 575 424;
  • 27) 0,857 142 857 497 575 424 × 2 = 1 + 0,714 285 714 995 150 848;
  • 28) 0,714 285 714 995 150 848 × 2 = 1 + 0,428 571 429 990 301 696;
  • 29) 0,428 571 429 990 301 696 × 2 = 0 + 0,857 142 859 980 603 392;
  • 30) 0,857 142 859 980 603 392 × 2 = 1 + 0,714 285 719 961 206 784;
  • 31) 0,714 285 719 961 206 784 × 2 = 1 + 0,428 571 439 922 413 568;
  • 32) 0,428 571 439 922 413 568 × 2 = 0 + 0,857 142 879 844 827 136;
  • 33) 0,857 142 879 844 827 136 × 2 = 1 + 0,714 285 759 689 654 272;
  • 34) 0,714 285 759 689 654 272 × 2 = 1 + 0,428 571 519 379 308 544;
  • 35) 0,428 571 519 379 308 544 × 2 = 0 + 0,857 143 038 758 617 088;
  • 36) 0,857 143 038 758 617 088 × 2 = 1 + 0,714 286 077 517 234 176;
  • 37) 0,714 286 077 517 234 176 × 2 = 1 + 0,428 572 155 034 468 352;
  • 38) 0,428 572 155 034 468 352 × 2 = 0 + 0,857 144 310 068 936 704;
  • 39) 0,857 144 310 068 936 704 × 2 = 1 + 0,714 288 620 137 873 408;
  • 40) 0,714 288 620 137 873 408 × 2 = 1 + 0,428 577 240 275 746 816;
  • 41) 0,428 577 240 275 746 816 × 2 = 0 + 0,857 154 480 551 493 632;
  • 42) 0,857 154 480 551 493 632 × 2 = 1 + 0,714 308 961 102 987 264;
  • 43) 0,714 308 961 102 987 264 × 2 = 1 + 0,428 617 922 205 974 528;
  • 44) 0,428 617 922 205 974 528 × 2 = 0 + 0,857 235 844 411 949 056;
  • 45) 0,857 235 844 411 949 056 × 2 = 1 + 0,714 471 688 823 898 112;
  • 46) 0,714 471 688 823 898 112 × 2 = 1 + 0,428 943 377 647 796 224;
  • 47) 0,428 943 377 647 796 224 × 2 = 0 + 0,857 886 755 295 592 448;
  • 48) 0,857 886 755 295 592 448 × 2 = 1 + 0,715 773 510 591 184 896;
  • 49) 0,715 773 510 591 184 896 × 2 = 1 + 0,431 547 021 182 369 792;
  • 50) 0,431 547 021 182 369 792 × 2 = 0 + 0,863 094 042 364 739 584;
  • 51) 0,863 094 042 364 739 584 × 2 = 1 + 0,726 188 084 729 479 168;
  • 52) 0,726 188 084 729 479 168 × 2 = 1 + 0,452 376 169 458 958 336;
  • 53) 0,452 376 169 458 958 336 × 2 = 0 + 0,904 752 338 917 916 672;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,714 285 714 285 714 291(10) =

0,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,714 285 714 285 714 291(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,714 285 714 285 714 291(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0(2) × 20 =

1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 10(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 10


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 10 =

0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101


Numărul zecimal 2,714 285 714 285 714 291 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101

Distribuie

» Scriere 2,714 285 714 285 714 295 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100