2,714 285 714 285 714 558 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,714 285 714 285 714 558(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,714 285 714 285 714 558(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,714 285 714 285 714 558.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,714 285 714 285 714 558 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 429 116;
  • 2) 0,428 571 428 571 429 116 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 858 232;
  • 3) 0,857 142 857 142 858 232 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 716 464;
  • 4) 0,714 285 714 285 716 464 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 432 928;
  • 5) 0,428 571 428 571 432 928 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 865 856;
  • 6) 0,857 142 857 142 865 856 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 731 712;
  • 7) 0,714 285 714 285 731 712 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 463 424;
  • 8) 0,428 571 428 571 463 424 × 2 = 0 + 0,857 142 857 142 926 848;
  • 9) 0,857 142 857 142 926 848 × 2 = 1 + 0,714 285 714 285 853 696;
  • 10) 0,714 285 714 285 853 696 × 2 = 1 + 0,428 571 428 571 707 392;
  • 11) 0,428 571 428 571 707 392 × 2 = 0 + 0,857 142 857 143 414 784;
  • 12) 0,857 142 857 143 414 784 × 2 = 1 + 0,714 285 714 286 829 568;
  • 13) 0,714 285 714 286 829 568 × 2 = 1 + 0,428 571 428 573 659 136;
  • 14) 0,428 571 428 573 659 136 × 2 = 0 + 0,857 142 857 147 318 272;
  • 15) 0,857 142 857 147 318 272 × 2 = 1 + 0,714 285 714 294 636 544;
  • 16) 0,714 285 714 294 636 544 × 2 = 1 + 0,428 571 428 589 273 088;
  • 17) 0,428 571 428 589 273 088 × 2 = 0 + 0,857 142 857 178 546 176;
  • 18) 0,857 142 857 178 546 176 × 2 = 1 + 0,714 285 714 357 092 352;
  • 19) 0,714 285 714 357 092 352 × 2 = 1 + 0,428 571 428 714 184 704;
  • 20) 0,428 571 428 714 184 704 × 2 = 0 + 0,857 142 857 428 369 408;
  • 21) 0,857 142 857 428 369 408 × 2 = 1 + 0,714 285 714 856 738 816;
  • 22) 0,714 285 714 856 738 816 × 2 = 1 + 0,428 571 429 713 477 632;
  • 23) 0,428 571 429 713 477 632 × 2 = 0 + 0,857 142 859 426 955 264;
  • 24) 0,857 142 859 426 955 264 × 2 = 1 + 0,714 285 718 853 910 528;
  • 25) 0,714 285 718 853 910 528 × 2 = 1 + 0,428 571 437 707 821 056;
  • 26) 0,428 571 437 707 821 056 × 2 = 0 + 0,857 142 875 415 642 112;
  • 27) 0,857 142 875 415 642 112 × 2 = 1 + 0,714 285 750 831 284 224;
  • 28) 0,714 285 750 831 284 224 × 2 = 1 + 0,428 571 501 662 568 448;
  • 29) 0,428 571 501 662 568 448 × 2 = 0 + 0,857 143 003 325 136 896;
  • 30) 0,857 143 003 325 136 896 × 2 = 1 + 0,714 286 006 650 273 792;
  • 31) 0,714 286 006 650 273 792 × 2 = 1 + 0,428 572 013 300 547 584;
  • 32) 0,428 572 013 300 547 584 × 2 = 0 + 0,857 144 026 601 095 168;
  • 33) 0,857 144 026 601 095 168 × 2 = 1 + 0,714 288 053 202 190 336;
  • 34) 0,714 288 053 202 190 336 × 2 = 1 + 0,428 576 106 404 380 672;
  • 35) 0,428 576 106 404 380 672 × 2 = 0 + 0,857 152 212 808 761 344;
  • 36) 0,857 152 212 808 761 344 × 2 = 1 + 0,714 304 425 617 522 688;
  • 37) 0,714 304 425 617 522 688 × 2 = 1 + 0,428 608 851 235 045 376;
  • 38) 0,428 608 851 235 045 376 × 2 = 0 + 0,857 217 702 470 090 752;
  • 39) 0,857 217 702 470 090 752 × 2 = 1 + 0,714 435 404 940 181 504;
  • 40) 0,714 435 404 940 181 504 × 2 = 1 + 0,428 870 809 880 363 008;
  • 41) 0,428 870 809 880 363 008 × 2 = 0 + 0,857 741 619 760 726 016;
  • 42) 0,857 741 619 760 726 016 × 2 = 1 + 0,715 483 239 521 452 032;
  • 43) 0,715 483 239 521 452 032 × 2 = 1 + 0,430 966 479 042 904 064;
  • 44) 0,430 966 479 042 904 064 × 2 = 0 + 0,861 932 958 085 808 128;
  • 45) 0,861 932 958 085 808 128 × 2 = 1 + 0,723 865 916 171 616 256;
  • 46) 0,723 865 916 171 616 256 × 2 = 1 + 0,447 731 832 343 232 512;
  • 47) 0,447 731 832 343 232 512 × 2 = 0 + 0,895 463 664 686 465 024;
  • 48) 0,895 463 664 686 465 024 × 2 = 1 + 0,790 927 329 372 930 048;
  • 49) 0,790 927 329 372 930 048 × 2 = 1 + 0,581 854 658 745 860 096;
  • 50) 0,581 854 658 745 860 096 × 2 = 1 + 0,163 709 317 491 720 192;
  • 51) 0,163 709 317 491 720 192 × 2 = 0 + 0,327 418 634 983 440 384;
  • 52) 0,327 418 634 983 440 384 × 2 = 0 + 0,654 837 269 966 880 768;
  • 53) 0,654 837 269 966 880 768 × 2 = 1 + 0,309 674 539 933 761 536;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,714 285 714 285 714 558(10) =

0,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,714 285 714 285 714 558(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,714 285 714 285 714 558(10) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 1(2) =

10,1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1100 1(2) × 20 =

1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110 01 =

0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110


Numărul zecimal 2,714 285 714 285 714 558 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0110 1110

Distribuie

» Scriere 2,714 285 714 285 714 628 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100