2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251 × 2 = 1 + 0,436 563 656 918 090 470 720 574 942 705 324 995 514 494 187 399 919 149 933 935 255 448 153 260 707 095 189 142 502;
  • 2) 0,436 563 656 918 090 470 720 574 942 705 324 995 514 494 187 399 919 149 933 935 255 448 153 260 707 095 189 142 502 × 2 = 0 + 0,873 127 313 836 180 941 441 149 885 410 649 991 028 988 374 799 838 299 867 870 510 896 306 521 414 190 378 285 004;
  • 3) 0,873 127 313 836 180 941 441 149 885 410 649 991 028 988 374 799 838 299 867 870 510 896 306 521 414 190 378 285 004 × 2 = 1 + 0,746 254 627 672 361 882 882 299 770 821 299 982 057 976 749 599 676 599 735 741 021 792 613 042 828 380 756 570 008;
  • 4) 0,746 254 627 672 361 882 882 299 770 821 299 982 057 976 749 599 676 599 735 741 021 792 613 042 828 380 756 570 008 × 2 = 1 + 0,492 509 255 344 723 765 764 599 541 642 599 964 115 953 499 199 353 199 471 482 043 585 226 085 656 761 513 140 016;
  • 5) 0,492 509 255 344 723 765 764 599 541 642 599 964 115 953 499 199 353 199 471 482 043 585 226 085 656 761 513 140 016 × 2 = 0 + 0,985 018 510 689 447 531 529 199 083 285 199 928 231 906 998 398 706 398 942 964 087 170 452 171 313 523 026 280 032;
  • 6) 0,985 018 510 689 447 531 529 199 083 285 199 928 231 906 998 398 706 398 942 964 087 170 452 171 313 523 026 280 032 × 2 = 1 + 0,970 037 021 378 895 063 058 398 166 570 399 856 463 813 996 797 412 797 885 928 174 340 904 342 627 046 052 560 064;
  • 7) 0,970 037 021 378 895 063 058 398 166 570 399 856 463 813 996 797 412 797 885 928 174 340 904 342 627 046 052 560 064 × 2 = 1 + 0,940 074 042 757 790 126 116 796 333 140 799 712 927 627 993 594 825 595 771 856 348 681 808 685 254 092 105 120 128;
  • 8) 0,940 074 042 757 790 126 116 796 333 140 799 712 927 627 993 594 825 595 771 856 348 681 808 685 254 092 105 120 128 × 2 = 1 + 0,880 148 085 515 580 252 233 592 666 281 599 425 855 255 987 189 651 191 543 712 697 363 617 370 508 184 210 240 256;
  • 9) 0,880 148 085 515 580 252 233 592 666 281 599 425 855 255 987 189 651 191 543 712 697 363 617 370 508 184 210 240 256 × 2 = 1 + 0,760 296 171 031 160 504 467 185 332 563 198 851 710 511 974 379 302 383 087 425 394 727 234 741 016 368 420 480 512;
  • 10) 0,760 296 171 031 160 504 467 185 332 563 198 851 710 511 974 379 302 383 087 425 394 727 234 741 016 368 420 480 512 × 2 = 1 + 0,520 592 342 062 321 008 934 370 665 126 397 703 421 023 948 758 604 766 174 850 789 454 469 482 032 736 840 961 024;
  • 11) 0,520 592 342 062 321 008 934 370 665 126 397 703 421 023 948 758 604 766 174 850 789 454 469 482 032 736 840 961 024 × 2 = 1 + 0,041 184 684 124 642 017 868 741 330 252 795 406 842 047 897 517 209 532 349 701 578 908 938 964 065 473 681 922 048;
  • 12) 0,041 184 684 124 642 017 868 741 330 252 795 406 842 047 897 517 209 532 349 701 578 908 938 964 065 473 681 922 048 × 2 = 0 + 0,082 369 368 249 284 035 737 482 660 505 590 813 684 095 795 034 419 064 699 403 157 817 877 928 130 947 363 844 096;
  • 13) 0,082 369 368 249 284 035 737 482 660 505 590 813 684 095 795 034 419 064 699 403 157 817 877 928 130 947 363 844 096 × 2 = 0 + 0,164 738 736 498 568 071 474 965 321 011 181 627 368 191 590 068 838 129 398 806 315 635 755 856 261 894 727 688 192;
  • 14) 0,164 738 736 498 568 071 474 965 321 011 181 627 368 191 590 068 838 129 398 806 315 635 755 856 261 894 727 688 192 × 2 = 0 + 0,329 477 472 997 136 142 949 930 642 022 363 254 736 383 180 137 676 258 797 612 631 271 511 712 523 789 455 376 384;
  • 15) 0,329 477 472 997 136 142 949 930 642 022 363 254 736 383 180 137 676 258 797 612 631 271 511 712 523 789 455 376 384 × 2 = 0 + 0,658 954 945 994 272 285 899 861 284 044 726 509 472 766 360 275 352 517 595 225 262 543 023 425 047 578 910 752 768;
  • 16) 0,658 954 945 994 272 285 899 861 284 044 726 509 472 766 360 275 352 517 595 225 262 543 023 425 047 578 910 752 768 × 2 = 1 + 0,317 909 891 988 544 571 799 722 568 089 453 018 945 532 720 550 705 035 190 450 525 086 046 850 095 157 821 505 536;
  • 17) 0,317 909 891 988 544 571 799 722 568 089 453 018 945 532 720 550 705 035 190 450 525 086 046 850 095 157 821 505 536 × 2 = 0 + 0,635 819 783 977 089 143 599 445 136 178 906 037 891 065 441 101 410 070 380 901 050 172 093 700 190 315 643 011 072;
  • 18) 0,635 819 783 977 089 143 599 445 136 178 906 037 891 065 441 101 410 070 380 901 050 172 093 700 190 315 643 011 072 × 2 = 1 + 0,271 639 567 954 178 287 198 890 272 357 812 075 782 130 882 202 820 140 761 802 100 344 187 400 380 631 286 022 144;
  • 19) 0,271 639 567 954 178 287 198 890 272 357 812 075 782 130 882 202 820 140 761 802 100 344 187 400 380 631 286 022 144 × 2 = 0 + 0,543 279 135 908 356 574 397 780 544 715 624 151 564 261 764 405 640 281 523 604 200 688 374 800 761 262 572 044 288;
  • 20) 0,543 279 135 908 356 574 397 780 544 715 624 151 564 261 764 405 640 281 523 604 200 688 374 800 761 262 572 044 288 × 2 = 1 + 0,086 558 271 816 713 148 795 561 089 431 248 303 128 523 528 811 280 563 047 208 401 376 749 601 522 525 144 088 576;
  • 21) 0,086 558 271 816 713 148 795 561 089 431 248 303 128 523 528 811 280 563 047 208 401 376 749 601 522 525 144 088 576 × 2 = 0 + 0,173 116 543 633 426 297 591 122 178 862 496 606 257 047 057 622 561 126 094 416 802 753 499 203 045 050 288 177 152;
  • 22) 0,173 116 543 633 426 297 591 122 178 862 496 606 257 047 057 622 561 126 094 416 802 753 499 203 045 050 288 177 152 × 2 = 0 + 0,346 233 087 266 852 595 182 244 357 724 993 212 514 094 115 245 122 252 188 833 605 506 998 406 090 100 576 354 304;
  • 23) 0,346 233 087 266 852 595 182 244 357 724 993 212 514 094 115 245 122 252 188 833 605 506 998 406 090 100 576 354 304 × 2 = 0 + 0,692 466 174 533 705 190 364 488 715 449 986 425 028 188 230 490 244 504 377 667 211 013 996 812 180 201 152 708 608;
  • 24) 0,692 466 174 533 705 190 364 488 715 449 986 425 028 188 230 490 244 504 377 667 211 013 996 812 180 201 152 708 608 × 2 = 1 + 0,384 932 349 067 410 380 728 977 430 899 972 850 056 376 460 980 489 008 755 334 422 027 993 624 360 402 305 417 216;
  • 25) 0,384 932 349 067 410 380 728 977 430 899 972 850 056 376 460 980 489 008 755 334 422 027 993 624 360 402 305 417 216 × 2 = 0 + 0,769 864 698 134 820 761 457 954 861 799 945 700 112 752 921 960 978 017 510 668 844 055 987 248 720 804 610 834 432;
  • 26) 0,769 864 698 134 820 761 457 954 861 799 945 700 112 752 921 960 978 017 510 668 844 055 987 248 720 804 610 834 432 × 2 = 1 + 0,539 729 396 269 641 522 915 909 723 599 891 400 225 505 843 921 956 035 021 337 688 111 974 497 441 609 221 668 864;
  • 27) 0,539 729 396 269 641 522 915 909 723 599 891 400 225 505 843 921 956 035 021 337 688 111 974 497 441 609 221 668 864 × 2 = 1 + 0,079 458 792 539 283 045 831 819 447 199 782 800 451 011 687 843 912 070 042 675 376 223 948 994 883 218 443 337 728;
  • 28) 0,079 458 792 539 283 045 831 819 447 199 782 800 451 011 687 843 912 070 042 675 376 223 948 994 883 218 443 337 728 × 2 = 0 + 0,158 917 585 078 566 091 663 638 894 399 565 600 902 023 375 687 824 140 085 350 752 447 897 989 766 436 886 675 456;
  • 29) 0,158 917 585 078 566 091 663 638 894 399 565 600 902 023 375 687 824 140 085 350 752 447 897 989 766 436 886 675 456 × 2 = 0 + 0,317 835 170 157 132 183 327 277 788 799 131 201 804 046 751 375 648 280 170 701 504 895 795 979 532 873 773 350 912;
  • 30) 0,317 835 170 157 132 183 327 277 788 799 131 201 804 046 751 375 648 280 170 701 504 895 795 979 532 873 773 350 912 × 2 = 0 + 0,635 670 340 314 264 366 654 555 577 598 262 403 608 093 502 751 296 560 341 403 009 791 591 959 065 747 546 701 824;
  • 31) 0,635 670 340 314 264 366 654 555 577 598 262 403 608 093 502 751 296 560 341 403 009 791 591 959 065 747 546 701 824 × 2 = 1 + 0,271 340 680 628 528 733 309 111 155 196 524 807 216 187 005 502 593 120 682 806 019 583 183 918 131 495 093 403 648;
  • 32) 0,271 340 680 628 528 733 309 111 155 196 524 807 216 187 005 502 593 120 682 806 019 583 183 918 131 495 093 403 648 × 2 = 0 + 0,542 681 361 257 057 466 618 222 310 393 049 614 432 374 011 005 186 241 365 612 039 166 367 836 262 990 186 807 296;
  • 33) 0,542 681 361 257 057 466 618 222 310 393 049 614 432 374 011 005 186 241 365 612 039 166 367 836 262 990 186 807 296 × 2 = 1 + 0,085 362 722 514 114 933 236 444 620 786 099 228 864 748 022 010 372 482 731 224 078 332 735 672 525 980 373 614 592;
  • 34) 0,085 362 722 514 114 933 236 444 620 786 099 228 864 748 022 010 372 482 731 224 078 332 735 672 525 980 373 614 592 × 2 = 0 + 0,170 725 445 028 229 866 472 889 241 572 198 457 729 496 044 020 744 965 462 448 156 665 471 345 051 960 747 229 184;
  • 35) 0,170 725 445 028 229 866 472 889 241 572 198 457 729 496 044 020 744 965 462 448 156 665 471 345 051 960 747 229 184 × 2 = 0 + 0,341 450 890 056 459 732 945 778 483 144 396 915 458 992 088 041 489 930 924 896 313 330 942 690 103 921 494 458 368;
  • 36) 0,341 450 890 056 459 732 945 778 483 144 396 915 458 992 088 041 489 930 924 896 313 330 942 690 103 921 494 458 368 × 2 = 0 + 0,682 901 780 112 919 465 891 556 966 288 793 830 917 984 176 082 979 861 849 792 626 661 885 380 207 842 988 916 736;
  • 37) 0,682 901 780 112 919 465 891 556 966 288 793 830 917 984 176 082 979 861 849 792 626 661 885 380 207 842 988 916 736 × 2 = 1 + 0,365 803 560 225 838 931 783 113 932 577 587 661 835 968 352 165 959 723 699 585 253 323 770 760 415 685 977 833 472;
  • 38) 0,365 803 560 225 838 931 783 113 932 577 587 661 835 968 352 165 959 723 699 585 253 323 770 760 415 685 977 833 472 × 2 = 0 + 0,731 607 120 451 677 863 566 227 865 155 175 323 671 936 704 331 919 447 399 170 506 647 541 520 831 371 955 666 944;
  • 39) 0,731 607 120 451 677 863 566 227 865 155 175 323 671 936 704 331 919 447 399 170 506 647 541 520 831 371 955 666 944 × 2 = 1 + 0,463 214 240 903 355 727 132 455 730 310 350 647 343 873 408 663 838 894 798 341 013 295 083 041 662 743 911 333 888;
  • 40) 0,463 214 240 903 355 727 132 455 730 310 350 647 343 873 408 663 838 894 798 341 013 295 083 041 662 743 911 333 888 × 2 = 0 + 0,926 428 481 806 711 454 264 911 460 620 701 294 687 746 817 327 677 789 596 682 026 590 166 083 325 487 822 667 776;
  • 41) 0,926 428 481 806 711 454 264 911 460 620 701 294 687 746 817 327 677 789 596 682 026 590 166 083 325 487 822 667 776 × 2 = 1 + 0,852 856 963 613 422 908 529 822 921 241 402 589 375 493 634 655 355 579 193 364 053 180 332 166 650 975 645 335 552;
  • 42) 0,852 856 963 613 422 908 529 822 921 241 402 589 375 493 634 655 355 579 193 364 053 180 332 166 650 975 645 335 552 × 2 = 1 + 0,705 713 927 226 845 817 059 645 842 482 805 178 750 987 269 310 711 158 386 728 106 360 664 333 301 951 290 671 104;
  • 43) 0,705 713 927 226 845 817 059 645 842 482 805 178 750 987 269 310 711 158 386 728 106 360 664 333 301 951 290 671 104 × 2 = 1 + 0,411 427 854 453 691 634 119 291 684 965 610 357 501 974 538 621 422 316 773 456 212 721 328 666 603 902 581 342 208;
  • 44) 0,411 427 854 453 691 634 119 291 684 965 610 357 501 974 538 621 422 316 773 456 212 721 328 666 603 902 581 342 208 × 2 = 0 + 0,822 855 708 907 383 268 238 583 369 931 220 715 003 949 077 242 844 633 546 912 425 442 657 333 207 805 162 684 416;
  • 45) 0,822 855 708 907 383 268 238 583 369 931 220 715 003 949 077 242 844 633 546 912 425 442 657 333 207 805 162 684 416 × 2 = 1 + 0,645 711 417 814 766 536 477 166 739 862 441 430 007 898 154 485 689 267 093 824 850 885 314 666 415 610 325 368 832;
  • 46) 0,645 711 417 814 766 536 477 166 739 862 441 430 007 898 154 485 689 267 093 824 850 885 314 666 415 610 325 368 832 × 2 = 1 + 0,291 422 835 629 533 072 954 333 479 724 882 860 015 796 308 971 378 534 187 649 701 770 629 332 831 220 650 737 664;
  • 47) 0,291 422 835 629 533 072 954 333 479 724 882 860 015 796 308 971 378 534 187 649 701 770 629 332 831 220 650 737 664 × 2 = 0 + 0,582 845 671 259 066 145 908 666 959 449 765 720 031 592 617 942 757 068 375 299 403 541 258 665 662 441 301 475 328;
  • 48) 0,582 845 671 259 066 145 908 666 959 449 765 720 031 592 617 942 757 068 375 299 403 541 258 665 662 441 301 475 328 × 2 = 1 + 0,165 691 342 518 132 291 817 333 918 899 531 440 063 185 235 885 514 136 750 598 807 082 517 331 324 882 602 950 656;
  • 49) 0,165 691 342 518 132 291 817 333 918 899 531 440 063 185 235 885 514 136 750 598 807 082 517 331 324 882 602 950 656 × 2 = 0 + 0,331 382 685 036 264 583 634 667 837 799 062 880 126 370 471 771 028 273 501 197 614 165 034 662 649 765 205 901 312;
  • 50) 0,331 382 685 036 264 583 634 667 837 799 062 880 126 370 471 771 028 273 501 197 614 165 034 662 649 765 205 901 312 × 2 = 0 + 0,662 765 370 072 529 167 269 335 675 598 125 760 252 740 943 542 056 547 002 395 228 330 069 325 299 530 411 802 624;
  • 51) 0,662 765 370 072 529 167 269 335 675 598 125 760 252 740 943 542 056 547 002 395 228 330 069 325 299 530 411 802 624 × 2 = 1 + 0,325 530 740 145 058 334 538 671 351 196 251 520 505 481 887 084 113 094 004 790 456 660 138 650 599 060 823 605 248;
  • 52) 0,325 530 740 145 058 334 538 671 351 196 251 520 505 481 887 084 113 094 004 790 456 660 138 650 599 060 823 605 248 × 2 = 0 + 0,651 061 480 290 116 669 077 342 702 392 503 041 010 963 774 168 226 188 009 580 913 320 277 301 198 121 647 210 496;
  • 53) 0,651 061 480 290 116 669 077 342 702 392 503 041 010 963 774 168 226 188 009 580 913 320 277 301 198 121 647 210 496 × 2 = 1 + 0,302 122 960 580 233 338 154 685 404 785 006 082 021 927 548 336 452 376 019 161 826 640 554 602 396 243 294 420 992;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251(10) =

0,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251(10) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251(10) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) × 20 =

1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01 =

0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


Numărul zecimal 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 251 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001

Distribuie

» Scriere 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699 959 574 966 967 627 724 076 630 353 547 594 571 262 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100