2,718 281 828 459 045 235 360 287 481 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,718 281 828 459 045 235 360 287 481(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,718 281 828 459 045 235 360 287 481(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,718 281 828 459 045 235 360 287 481.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,718 281 828 459 045 235 360 287 481 × 2 = 1 + 0,436 563 656 918 090 470 720 574 962;
  • 2) 0,436 563 656 918 090 470 720 574 962 × 2 = 0 + 0,873 127 313 836 180 941 441 149 924;
  • 3) 0,873 127 313 836 180 941 441 149 924 × 2 = 1 + 0,746 254 627 672 361 882 882 299 848;
  • 4) 0,746 254 627 672 361 882 882 299 848 × 2 = 1 + 0,492 509 255 344 723 765 764 599 696;
  • 5) 0,492 509 255 344 723 765 764 599 696 × 2 = 0 + 0,985 018 510 689 447 531 529 199 392;
  • 6) 0,985 018 510 689 447 531 529 199 392 × 2 = 1 + 0,970 037 021 378 895 063 058 398 784;
  • 7) 0,970 037 021 378 895 063 058 398 784 × 2 = 1 + 0,940 074 042 757 790 126 116 797 568;
  • 8) 0,940 074 042 757 790 126 116 797 568 × 2 = 1 + 0,880 148 085 515 580 252 233 595 136;
  • 9) 0,880 148 085 515 580 252 233 595 136 × 2 = 1 + 0,760 296 171 031 160 504 467 190 272;
  • 10) 0,760 296 171 031 160 504 467 190 272 × 2 = 1 + 0,520 592 342 062 321 008 934 380 544;
  • 11) 0,520 592 342 062 321 008 934 380 544 × 2 = 1 + 0,041 184 684 124 642 017 868 761 088;
  • 12) 0,041 184 684 124 642 017 868 761 088 × 2 = 0 + 0,082 369 368 249 284 035 737 522 176;
  • 13) 0,082 369 368 249 284 035 737 522 176 × 2 = 0 + 0,164 738 736 498 568 071 475 044 352;
  • 14) 0,164 738 736 498 568 071 475 044 352 × 2 = 0 + 0,329 477 472 997 136 142 950 088 704;
  • 15) 0,329 477 472 997 136 142 950 088 704 × 2 = 0 + 0,658 954 945 994 272 285 900 177 408;
  • 16) 0,658 954 945 994 272 285 900 177 408 × 2 = 1 + 0,317 909 891 988 544 571 800 354 816;
  • 17) 0,317 909 891 988 544 571 800 354 816 × 2 = 0 + 0,635 819 783 977 089 143 600 709 632;
  • 18) 0,635 819 783 977 089 143 600 709 632 × 2 = 1 + 0,271 639 567 954 178 287 201 419 264;
  • 19) 0,271 639 567 954 178 287 201 419 264 × 2 = 0 + 0,543 279 135 908 356 574 402 838 528;
  • 20) 0,543 279 135 908 356 574 402 838 528 × 2 = 1 + 0,086 558 271 816 713 148 805 677 056;
  • 21) 0,086 558 271 816 713 148 805 677 056 × 2 = 0 + 0,173 116 543 633 426 297 611 354 112;
  • 22) 0,173 116 543 633 426 297 611 354 112 × 2 = 0 + 0,346 233 087 266 852 595 222 708 224;
  • 23) 0,346 233 087 266 852 595 222 708 224 × 2 = 0 + 0,692 466 174 533 705 190 445 416 448;
  • 24) 0,692 466 174 533 705 190 445 416 448 × 2 = 1 + 0,384 932 349 067 410 380 890 832 896;
  • 25) 0,384 932 349 067 410 380 890 832 896 × 2 = 0 + 0,769 864 698 134 820 761 781 665 792;
  • 26) 0,769 864 698 134 820 761 781 665 792 × 2 = 1 + 0,539 729 396 269 641 523 563 331 584;
  • 27) 0,539 729 396 269 641 523 563 331 584 × 2 = 1 + 0,079 458 792 539 283 047 126 663 168;
  • 28) 0,079 458 792 539 283 047 126 663 168 × 2 = 0 + 0,158 917 585 078 566 094 253 326 336;
  • 29) 0,158 917 585 078 566 094 253 326 336 × 2 = 0 + 0,317 835 170 157 132 188 506 652 672;
  • 30) 0,317 835 170 157 132 188 506 652 672 × 2 = 0 + 0,635 670 340 314 264 377 013 305 344;
  • 31) 0,635 670 340 314 264 377 013 305 344 × 2 = 1 + 0,271 340 680 628 528 754 026 610 688;
  • 32) 0,271 340 680 628 528 754 026 610 688 × 2 = 0 + 0,542 681 361 257 057 508 053 221 376;
  • 33) 0,542 681 361 257 057 508 053 221 376 × 2 = 1 + 0,085 362 722 514 115 016 106 442 752;
  • 34) 0,085 362 722 514 115 016 106 442 752 × 2 = 0 + 0,170 725 445 028 230 032 212 885 504;
  • 35) 0,170 725 445 028 230 032 212 885 504 × 2 = 0 + 0,341 450 890 056 460 064 425 771 008;
  • 36) 0,341 450 890 056 460 064 425 771 008 × 2 = 0 + 0,682 901 780 112 920 128 851 542 016;
  • 37) 0,682 901 780 112 920 128 851 542 016 × 2 = 1 + 0,365 803 560 225 840 257 703 084 032;
  • 38) 0,365 803 560 225 840 257 703 084 032 × 2 = 0 + 0,731 607 120 451 680 515 406 168 064;
  • 39) 0,731 607 120 451 680 515 406 168 064 × 2 = 1 + 0,463 214 240 903 361 030 812 336 128;
  • 40) 0,463 214 240 903 361 030 812 336 128 × 2 = 0 + 0,926 428 481 806 722 061 624 672 256;
  • 41) 0,926 428 481 806 722 061 624 672 256 × 2 = 1 + 0,852 856 963 613 444 123 249 344 512;
  • 42) 0,852 856 963 613 444 123 249 344 512 × 2 = 1 + 0,705 713 927 226 888 246 498 689 024;
  • 43) 0,705 713 927 226 888 246 498 689 024 × 2 = 1 + 0,411 427 854 453 776 492 997 378 048;
  • 44) 0,411 427 854 453 776 492 997 378 048 × 2 = 0 + 0,822 855 708 907 552 985 994 756 096;
  • 45) 0,822 855 708 907 552 985 994 756 096 × 2 = 1 + 0,645 711 417 815 105 971 989 512 192;
  • 46) 0,645 711 417 815 105 971 989 512 192 × 2 = 1 + 0,291 422 835 630 211 943 979 024 384;
  • 47) 0,291 422 835 630 211 943 979 024 384 × 2 = 0 + 0,582 845 671 260 423 887 958 048 768;
  • 48) 0,582 845 671 260 423 887 958 048 768 × 2 = 1 + 0,165 691 342 520 847 775 916 097 536;
  • 49) 0,165 691 342 520 847 775 916 097 536 × 2 = 0 + 0,331 382 685 041 695 551 832 195 072;
  • 50) 0,331 382 685 041 695 551 832 195 072 × 2 = 0 + 0,662 765 370 083 391 103 664 390 144;
  • 51) 0,662 765 370 083 391 103 664 390 144 × 2 = 1 + 0,325 530 740 166 782 207 328 780 288;
  • 52) 0,325 530 740 166 782 207 328 780 288 × 2 = 0 + 0,651 061 480 333 564 414 657 560 576;
  • 53) 0,651 061 480 333 564 414 657 560 576 × 2 = 1 + 0,302 122 960 667 128 829 315 121 152;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,718 281 828 459 045 235 360 287 481(10) =

0,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,718 281 828 459 045 235 360 287 481(10) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,718 281 828 459 045 235 360 287 481(10) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) × 20 =

1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01 =

0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


Numărul zecimal 2,718 281 828 459 045 235 360 287 481 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001

Distribuie

» Scriere 2,718 281 828 459 045 235 360 287 434 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100