2,718 281 828 459 045 235 360 289 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2,718 281 828 459 045 235 360 289 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2,718 281 828 459 045 235 360 289 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2(10) =

10(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,718 281 828 459 045 235 360 289 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,718 281 828 459 045 235 360 289 3 × 2 = 1 + 0,436 563 656 918 090 470 720 578 6;
  • 2) 0,436 563 656 918 090 470 720 578 6 × 2 = 0 + 0,873 127 313 836 180 941 441 157 2;
  • 3) 0,873 127 313 836 180 941 441 157 2 × 2 = 1 + 0,746 254 627 672 361 882 882 314 4;
  • 4) 0,746 254 627 672 361 882 882 314 4 × 2 = 1 + 0,492 509 255 344 723 765 764 628 8;
  • 5) 0,492 509 255 344 723 765 764 628 8 × 2 = 0 + 0,985 018 510 689 447 531 529 257 6;
  • 6) 0,985 018 510 689 447 531 529 257 6 × 2 = 1 + 0,970 037 021 378 895 063 058 515 2;
  • 7) 0,970 037 021 378 895 063 058 515 2 × 2 = 1 + 0,940 074 042 757 790 126 117 030 4;
  • 8) 0,940 074 042 757 790 126 117 030 4 × 2 = 1 + 0,880 148 085 515 580 252 234 060 8;
  • 9) 0,880 148 085 515 580 252 234 060 8 × 2 = 1 + 0,760 296 171 031 160 504 468 121 6;
  • 10) 0,760 296 171 031 160 504 468 121 6 × 2 = 1 + 0,520 592 342 062 321 008 936 243 2;
  • 11) 0,520 592 342 062 321 008 936 243 2 × 2 = 1 + 0,041 184 684 124 642 017 872 486 4;
  • 12) 0,041 184 684 124 642 017 872 486 4 × 2 = 0 + 0,082 369 368 249 284 035 744 972 8;
  • 13) 0,082 369 368 249 284 035 744 972 8 × 2 = 0 + 0,164 738 736 498 568 071 489 945 6;
  • 14) 0,164 738 736 498 568 071 489 945 6 × 2 = 0 + 0,329 477 472 997 136 142 979 891 2;
  • 15) 0,329 477 472 997 136 142 979 891 2 × 2 = 0 + 0,658 954 945 994 272 285 959 782 4;
  • 16) 0,658 954 945 994 272 285 959 782 4 × 2 = 1 + 0,317 909 891 988 544 571 919 564 8;
  • 17) 0,317 909 891 988 544 571 919 564 8 × 2 = 0 + 0,635 819 783 977 089 143 839 129 6;
  • 18) 0,635 819 783 977 089 143 839 129 6 × 2 = 1 + 0,271 639 567 954 178 287 678 259 2;
  • 19) 0,271 639 567 954 178 287 678 259 2 × 2 = 0 + 0,543 279 135 908 356 575 356 518 4;
  • 20) 0,543 279 135 908 356 575 356 518 4 × 2 = 1 + 0,086 558 271 816 713 150 713 036 8;
  • 21) 0,086 558 271 816 713 150 713 036 8 × 2 = 0 + 0,173 116 543 633 426 301 426 073 6;
  • 22) 0,173 116 543 633 426 301 426 073 6 × 2 = 0 + 0,346 233 087 266 852 602 852 147 2;
  • 23) 0,346 233 087 266 852 602 852 147 2 × 2 = 0 + 0,692 466 174 533 705 205 704 294 4;
  • 24) 0,692 466 174 533 705 205 704 294 4 × 2 = 1 + 0,384 932 349 067 410 411 408 588 8;
  • 25) 0,384 932 349 067 410 411 408 588 8 × 2 = 0 + 0,769 864 698 134 820 822 817 177 6;
  • 26) 0,769 864 698 134 820 822 817 177 6 × 2 = 1 + 0,539 729 396 269 641 645 634 355 2;
  • 27) 0,539 729 396 269 641 645 634 355 2 × 2 = 1 + 0,079 458 792 539 283 291 268 710 4;
  • 28) 0,079 458 792 539 283 291 268 710 4 × 2 = 0 + 0,158 917 585 078 566 582 537 420 8;
  • 29) 0,158 917 585 078 566 582 537 420 8 × 2 = 0 + 0,317 835 170 157 133 165 074 841 6;
  • 30) 0,317 835 170 157 133 165 074 841 6 × 2 = 0 + 0,635 670 340 314 266 330 149 683 2;
  • 31) 0,635 670 340 314 266 330 149 683 2 × 2 = 1 + 0,271 340 680 628 532 660 299 366 4;
  • 32) 0,271 340 680 628 532 660 299 366 4 × 2 = 0 + 0,542 681 361 257 065 320 598 732 8;
  • 33) 0,542 681 361 257 065 320 598 732 8 × 2 = 1 + 0,085 362 722 514 130 641 197 465 6;
  • 34) 0,085 362 722 514 130 641 197 465 6 × 2 = 0 + 0,170 725 445 028 261 282 394 931 2;
  • 35) 0,170 725 445 028 261 282 394 931 2 × 2 = 0 + 0,341 450 890 056 522 564 789 862 4;
  • 36) 0,341 450 890 056 522 564 789 862 4 × 2 = 0 + 0,682 901 780 113 045 129 579 724 8;
  • 37) 0,682 901 780 113 045 129 579 724 8 × 2 = 1 + 0,365 803 560 226 090 259 159 449 6;
  • 38) 0,365 803 560 226 090 259 159 449 6 × 2 = 0 + 0,731 607 120 452 180 518 318 899 2;
  • 39) 0,731 607 120 452 180 518 318 899 2 × 2 = 1 + 0,463 214 240 904 361 036 637 798 4;
  • 40) 0,463 214 240 904 361 036 637 798 4 × 2 = 0 + 0,926 428 481 808 722 073 275 596 8;
  • 41) 0,926 428 481 808 722 073 275 596 8 × 2 = 1 + 0,852 856 963 617 444 146 551 193 6;
  • 42) 0,852 856 963 617 444 146 551 193 6 × 2 = 1 + 0,705 713 927 234 888 293 102 387 2;
  • 43) 0,705 713 927 234 888 293 102 387 2 × 2 = 1 + 0,411 427 854 469 776 586 204 774 4;
  • 44) 0,411 427 854 469 776 586 204 774 4 × 2 = 0 + 0,822 855 708 939 553 172 409 548 8;
  • 45) 0,822 855 708 939 553 172 409 548 8 × 2 = 1 + 0,645 711 417 879 106 344 819 097 6;
  • 46) 0,645 711 417 879 106 344 819 097 6 × 2 = 1 + 0,291 422 835 758 212 689 638 195 2;
  • 47) 0,291 422 835 758 212 689 638 195 2 × 2 = 0 + 0,582 845 671 516 425 379 276 390 4;
  • 48) 0,582 845 671 516 425 379 276 390 4 × 2 = 1 + 0,165 691 343 032 850 758 552 780 8;
  • 49) 0,165 691 343 032 850 758 552 780 8 × 2 = 0 + 0,331 382 686 065 701 517 105 561 6;
  • 50) 0,331 382 686 065 701 517 105 561 6 × 2 = 0 + 0,662 765 372 131 403 034 211 123 2;
  • 51) 0,662 765 372 131 403 034 211 123 2 × 2 = 1 + 0,325 530 744 262 806 068 422 246 4;
  • 52) 0,325 530 744 262 806 068 422 246 4 × 2 = 0 + 0,651 061 488 525 612 136 844 492 8;
  • 53) 0,651 061 488 525 612 136 844 492 8 × 2 = 1 + 0,302 122 977 051 224 273 688 985 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,718 281 828 459 045 235 360 289 3(10) =

0,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2,718 281 828 459 045 235 360 289 3(10) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2,718 281 828 459 045 235 360 289 3(10) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) =

10,1011 0111 1110 0001 0101 0001 0110 0010 1000 1010 1110 1101 0010 1(2) × 20 =

1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001 01 =

0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001


Numărul zecimal 2,718 281 828 459 045 235 360 289 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 0101 1011 1111 0000 1010 1000 1011 0001 0100 0101 0111 0110 1001

Distribuie

» Scriere 2,718 281 828 459 045 235 360 294 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100