20,333 333 333 333 340 15 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 20,333 333 333 333 340 15(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
20,333 333 333 333 340 15(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 20.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 20 : 2 = 10 + 0;
  • 10 : 2 = 5 + 0;
  • 5 : 2 = 2 + 1;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

20(10) =

1 0100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,333 333 333 333 340 15.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,333 333 333 333 340 15 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 680 3;
  • 2) 0,666 666 666 666 680 3 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 360 6;
  • 3) 0,333 333 333 333 360 6 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 721 2;
  • 4) 0,666 666 666 666 721 2 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 442 4;
  • 5) 0,333 333 333 333 442 4 × 2 = 0 + 0,666 666 666 666 884 8;
  • 6) 0,666 666 666 666 884 8 × 2 = 1 + 0,333 333 333 333 769 6;
  • 7) 0,333 333 333 333 769 6 × 2 = 0 + 0,666 666 666 667 539 2;
  • 8) 0,666 666 666 667 539 2 × 2 = 1 + 0,333 333 333 335 078 4;
  • 9) 0,333 333 333 335 078 4 × 2 = 0 + 0,666 666 666 670 156 8;
  • 10) 0,666 666 666 670 156 8 × 2 = 1 + 0,333 333 333 340 313 6;
  • 11) 0,333 333 333 340 313 6 × 2 = 0 + 0,666 666 666 680 627 2;
  • 12) 0,666 666 666 680 627 2 × 2 = 1 + 0,333 333 333 361 254 4;
  • 13) 0,333 333 333 361 254 4 × 2 = 0 + 0,666 666 666 722 508 8;
  • 14) 0,666 666 666 722 508 8 × 2 = 1 + 0,333 333 333 445 017 6;
  • 15) 0,333 333 333 445 017 6 × 2 = 0 + 0,666 666 666 890 035 2;
  • 16) 0,666 666 666 890 035 2 × 2 = 1 + 0,333 333 333 780 070 4;
  • 17) 0,333 333 333 780 070 4 × 2 = 0 + 0,666 666 667 560 140 8;
  • 18) 0,666 666 667 560 140 8 × 2 = 1 + 0,333 333 335 120 281 6;
  • 19) 0,333 333 335 120 281 6 × 2 = 0 + 0,666 666 670 240 563 2;
  • 20) 0,666 666 670 240 563 2 × 2 = 1 + 0,333 333 340 481 126 4;
  • 21) 0,333 333 340 481 126 4 × 2 = 0 + 0,666 666 680 962 252 8;
  • 22) 0,666 666 680 962 252 8 × 2 = 1 + 0,333 333 361 924 505 6;
  • 23) 0,333 333 361 924 505 6 × 2 = 0 + 0,666 666 723 849 011 2;
  • 24) 0,666 666 723 849 011 2 × 2 = 1 + 0,333 333 447 698 022 4;
  • 25) 0,333 333 447 698 022 4 × 2 = 0 + 0,666 666 895 396 044 8;
  • 26) 0,666 666 895 396 044 8 × 2 = 1 + 0,333 333 790 792 089 6;
  • 27) 0,333 333 790 792 089 6 × 2 = 0 + 0,666 667 581 584 179 2;
  • 28) 0,666 667 581 584 179 2 × 2 = 1 + 0,333 335 163 168 358 4;
  • 29) 0,333 335 163 168 358 4 × 2 = 0 + 0,666 670 326 336 716 8;
  • 30) 0,666 670 326 336 716 8 × 2 = 1 + 0,333 340 652 673 433 6;
  • 31) 0,333 340 652 673 433 6 × 2 = 0 + 0,666 681 305 346 867 2;
  • 32) 0,666 681 305 346 867 2 × 2 = 1 + 0,333 362 610 693 734 4;
  • 33) 0,333 362 610 693 734 4 × 2 = 0 + 0,666 725 221 387 468 8;
  • 34) 0,666 725 221 387 468 8 × 2 = 1 + 0,333 450 442 774 937 6;
  • 35) 0,333 450 442 774 937 6 × 2 = 0 + 0,666 900 885 549 875 2;
  • 36) 0,666 900 885 549 875 2 × 2 = 1 + 0,333 801 771 099 750 4;
  • 37) 0,333 801 771 099 750 4 × 2 = 0 + 0,667 603 542 199 500 8;
  • 38) 0,667 603 542 199 500 8 × 2 = 1 + 0,335 207 084 399 001 6;
  • 39) 0,335 207 084 399 001 6 × 2 = 0 + 0,670 414 168 798 003 2;
  • 40) 0,670 414 168 798 003 2 × 2 = 1 + 0,340 828 337 596 006 4;
  • 41) 0,340 828 337 596 006 4 × 2 = 0 + 0,681 656 675 192 012 8;
  • 42) 0,681 656 675 192 012 8 × 2 = 1 + 0,363 313 350 384 025 6;
  • 43) 0,363 313 350 384 025 6 × 2 = 0 + 0,726 626 700 768 051 2;
  • 44) 0,726 626 700 768 051 2 × 2 = 1 + 0,453 253 401 536 102 4;
  • 45) 0,453 253 401 536 102 4 × 2 = 0 + 0,906 506 803 072 204 8;
  • 46) 0,906 506 803 072 204 8 × 2 = 1 + 0,813 013 606 144 409 6;
  • 47) 0,813 013 606 144 409 6 × 2 = 1 + 0,626 027 212 288 819 2;
  • 48) 0,626 027 212 288 819 2 × 2 = 1 + 0,252 054 424 577 638 4;
  • 49) 0,252 054 424 577 638 4 × 2 = 0 + 0,504 108 849 155 276 8;
  • 50) 0,504 108 849 155 276 8 × 2 = 1 + 0,008 217 698 310 553 6;
  • 51) 0,008 217 698 310 553 6 × 2 = 0 + 0,016 435 396 621 107 2;
  • 52) 0,016 435 396 621 107 2 × 2 = 0 + 0,032 870 793 242 214 4;
  • 53) 0,032 870 793 242 214 4 × 2 = 0 + 0,065 741 586 484 428 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,333 333 333 333 340 15(10) =

0,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111 0100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

20,333 333 333 333 340 15(10) =

1 0100,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111 0100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


20,333 333 333 333 340 15(10) =

1 0100,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111 0100 0(2) =

1 0100,0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111 0100 0(2) × 20 =

1,0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111 0100 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111 0100 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111 0 1000 =

0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111


Numărul zecimal 20,333 333 333 333 340 15 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 0100 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0111

Distribuie

» Scriere 20,333 333 333 333 339 71 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100