2 000,142 857 131 89 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2 000,142 857 131 89(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2 000,142 857 131 89(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2 000.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 000 : 2 = 1 000 + 0;
  • 1 000 : 2 = 500 + 0;
  • 500 : 2 = 250 + 0;
  • 250 : 2 = 125 + 0;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2 000(10) =

111 1101 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,142 857 131 89.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,142 857 131 89 × 2 = 0 + 0,285 714 263 78;
  • 2) 0,285 714 263 78 × 2 = 0 + 0,571 428 527 56;
  • 3) 0,571 428 527 56 × 2 = 1 + 0,142 857 055 12;
  • 4) 0,142 857 055 12 × 2 = 0 + 0,285 714 110 24;
  • 5) 0,285 714 110 24 × 2 = 0 + 0,571 428 220 48;
  • 6) 0,571 428 220 48 × 2 = 1 + 0,142 856 440 96;
  • 7) 0,142 856 440 96 × 2 = 0 + 0,285 712 881 92;
  • 8) 0,285 712 881 92 × 2 = 0 + 0,571 425 763 84;
  • 9) 0,571 425 763 84 × 2 = 1 + 0,142 851 527 68;
  • 10) 0,142 851 527 68 × 2 = 0 + 0,285 703 055 36;
  • 11) 0,285 703 055 36 × 2 = 0 + 0,571 406 110 72;
  • 12) 0,571 406 110 72 × 2 = 1 + 0,142 812 221 44;
  • 13) 0,142 812 221 44 × 2 = 0 + 0,285 624 442 88;
  • 14) 0,285 624 442 88 × 2 = 0 + 0,571 248 885 76;
  • 15) 0,571 248 885 76 × 2 = 1 + 0,142 497 771 52;
  • 16) 0,142 497 771 52 × 2 = 0 + 0,284 995 543 04;
  • 17) 0,284 995 543 04 × 2 = 0 + 0,569 991 086 08;
  • 18) 0,569 991 086 08 × 2 = 1 + 0,139 982 172 16;
  • 19) 0,139 982 172 16 × 2 = 0 + 0,279 964 344 32;
  • 20) 0,279 964 344 32 × 2 = 0 + 0,559 928 688 64;
  • 21) 0,559 928 688 64 × 2 = 1 + 0,119 857 377 28;
  • 22) 0,119 857 377 28 × 2 = 0 + 0,239 714 754 56;
  • 23) 0,239 714 754 56 × 2 = 0 + 0,479 429 509 12;
  • 24) 0,479 429 509 12 × 2 = 0 + 0,958 859 018 24;
  • 25) 0,958 859 018 24 × 2 = 1 + 0,917 718 036 48;
  • 26) 0,917 718 036 48 × 2 = 1 + 0,835 436 072 96;
  • 27) 0,835 436 072 96 × 2 = 1 + 0,670 872 145 92;
  • 28) 0,670 872 145 92 × 2 = 1 + 0,341 744 291 84;
  • 29) 0,341 744 291 84 × 2 = 0 + 0,683 488 583 68;
  • 30) 0,683 488 583 68 × 2 = 1 + 0,366 977 167 36;
  • 31) 0,366 977 167 36 × 2 = 0 + 0,733 954 334 72;
  • 32) 0,733 954 334 72 × 2 = 1 + 0,467 908 669 44;
  • 33) 0,467 908 669 44 × 2 = 0 + 0,935 817 338 88;
  • 34) 0,935 817 338 88 × 2 = 1 + 0,871 634 677 76;
  • 35) 0,871 634 677 76 × 2 = 1 + 0,743 269 355 52;
  • 36) 0,743 269 355 52 × 2 = 1 + 0,486 538 711 04;
  • 37) 0,486 538 711 04 × 2 = 0 + 0,973 077 422 08;
  • 38) 0,973 077 422 08 × 2 = 1 + 0,946 154 844 16;
  • 39) 0,946 154 844 16 × 2 = 1 + 0,892 309 688 32;
  • 40) 0,892 309 688 32 × 2 = 1 + 0,784 619 376 64;
  • 41) 0,784 619 376 64 × 2 = 1 + 0,569 238 753 28;
  • 42) 0,569 238 753 28 × 2 = 1 + 0,138 477 506 56;
  • 43) 0,138 477 506 56 × 2 = 0 + 0,276 955 013 12;
  • 44) 0,276 955 013 12 × 2 = 0 + 0,553 910 026 24;
  • 45) 0,553 910 026 24 × 2 = 1 + 0,107 820 052 48;
  • 46) 0,107 820 052 48 × 2 = 0 + 0,215 640 104 96;
  • 47) 0,215 640 104 96 × 2 = 0 + 0,431 280 209 92;
  • 48) 0,431 280 209 92 × 2 = 0 + 0,862 560 419 84;
  • 49) 0,862 560 419 84 × 2 = 1 + 0,725 120 839 68;
  • 50) 0,725 120 839 68 × 2 = 1 + 0,450 241 679 36;
  • 51) 0,450 241 679 36 × 2 = 0 + 0,900 483 358 72;
  • 52) 0,900 483 358 72 × 2 = 1 + 0,800 966 717 44;
  • 53) 0,800 966 717 44 × 2 = 1 + 0,601 933 434 88;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,142 857 131 89(10) =

0,0010 0100 1001 0010 0100 1000 1111 0101 0111 0111 1100 1000 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2 000,142 857 131 89(10) =

111 1101 0000,0010 0100 1001 0010 0100 1000 1111 0101 0111 0111 1100 1000 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 10 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2 000,142 857 131 89(10) =

111 1101 0000,0010 0100 1001 0010 0100 1000 1111 0101 0111 0111 1100 1000 1101 1(2) =

111 1101 0000,0010 0100 1001 0010 0100 1000 1111 0101 0111 0111 1100 1000 1101 1(2) × 20 =

1,1111 0100 0000 1001 0010 0100 1001 0010 0011 1101 0101 1101 1111 0010 0011 011(2) × 210


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 10

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 0100 0000 1001 0010 0100 1001 0010 0011 1101 0101 1101 1111 0010 0011 011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

10 + 2(11-1) - 1 =

(10 + 1 023)(10) =

1 033(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 033 : 2 = 516 + 1;
  • 516 : 2 = 258 + 0;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1033(10) =

100 0000 1001(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 0100 0000 1001 0010 0100 1001 0010 0011 1101 0101 1101 1111 001 0001 1011 =

1111 0100 0000 1001 0010 0100 1001 0010 0011 1101 0101 1101 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1001

Mantisă (52 biți) =
1111 0100 0000 1001 0010 0100 1001 0010 0011 1101 0101 1101 1111


Numărul zecimal 2 000,142 857 131 89 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1001 - 1111 0100 0000 1001 0010 0100 1001 0010 0011 1101 0101 1101 1111

Distribuie

» Scriere 2 000,142 857 132 48 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100