204,120 999 999 999 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 204,120 999 999 999 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
204,120 999 999 999 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 204.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 204 : 2 = 102 + 0;
  • 102 : 2 = 51 + 0;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

204(10) =

1100 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,120 999 999 999 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,120 999 999 999 3 × 2 = 0 + 0,241 999 999 998 6;
  • 2) 0,241 999 999 998 6 × 2 = 0 + 0,483 999 999 997 2;
  • 3) 0,483 999 999 997 2 × 2 = 0 + 0,967 999 999 994 4;
  • 4) 0,967 999 999 994 4 × 2 = 1 + 0,935 999 999 988 8;
  • 5) 0,935 999 999 988 8 × 2 = 1 + 0,871 999 999 977 6;
  • 6) 0,871 999 999 977 6 × 2 = 1 + 0,743 999 999 955 2;
  • 7) 0,743 999 999 955 2 × 2 = 1 + 0,487 999 999 910 4;
  • 8) 0,487 999 999 910 4 × 2 = 0 + 0,975 999 999 820 8;
  • 9) 0,975 999 999 820 8 × 2 = 1 + 0,951 999 999 641 6;
  • 10) 0,951 999 999 641 6 × 2 = 1 + 0,903 999 999 283 2;
  • 11) 0,903 999 999 283 2 × 2 = 1 + 0,807 999 998 566 4;
  • 12) 0,807 999 998 566 4 × 2 = 1 + 0,615 999 997 132 8;
  • 13) 0,615 999 997 132 8 × 2 = 1 + 0,231 999 994 265 6;
  • 14) 0,231 999 994 265 6 × 2 = 0 + 0,463 999 988 531 2;
  • 15) 0,463 999 988 531 2 × 2 = 0 + 0,927 999 977 062 4;
  • 16) 0,927 999 977 062 4 × 2 = 1 + 0,855 999 954 124 8;
  • 17) 0,855 999 954 124 8 × 2 = 1 + 0,711 999 908 249 6;
  • 18) 0,711 999 908 249 6 × 2 = 1 + 0,423 999 816 499 2;
  • 19) 0,423 999 816 499 2 × 2 = 0 + 0,847 999 632 998 4;
  • 20) 0,847 999 632 998 4 × 2 = 1 + 0,695 999 265 996 8;
  • 21) 0,695 999 265 996 8 × 2 = 1 + 0,391 998 531 993 6;
  • 22) 0,391 998 531 993 6 × 2 = 0 + 0,783 997 063 987 2;
  • 23) 0,783 997 063 987 2 × 2 = 1 + 0,567 994 127 974 4;
  • 24) 0,567 994 127 974 4 × 2 = 1 + 0,135 988 255 948 8;
  • 25) 0,135 988 255 948 8 × 2 = 0 + 0,271 976 511 897 6;
  • 26) 0,271 976 511 897 6 × 2 = 0 + 0,543 953 023 795 2;
  • 27) 0,543 953 023 795 2 × 2 = 1 + 0,087 906 047 590 4;
  • 28) 0,087 906 047 590 4 × 2 = 0 + 0,175 812 095 180 8;
  • 29) 0,175 812 095 180 8 × 2 = 0 + 0,351 624 190 361 6;
  • 30) 0,351 624 190 361 6 × 2 = 0 + 0,703 248 380 723 2;
  • 31) 0,703 248 380 723 2 × 2 = 1 + 0,406 496 761 446 4;
  • 32) 0,406 496 761 446 4 × 2 = 0 + 0,812 993 522 892 8;
  • 33) 0,812 993 522 892 8 × 2 = 1 + 0,625 987 045 785 6;
  • 34) 0,625 987 045 785 6 × 2 = 1 + 0,251 974 091 571 2;
  • 35) 0,251 974 091 571 2 × 2 = 0 + 0,503 948 183 142 4;
  • 36) 0,503 948 183 142 4 × 2 = 1 + 0,007 896 366 284 8;
  • 37) 0,007 896 366 284 8 × 2 = 0 + 0,015 792 732 569 6;
  • 38) 0,015 792 732 569 6 × 2 = 0 + 0,031 585 465 139 2;
  • 39) 0,031 585 465 139 2 × 2 = 0 + 0,063 170 930 278 4;
  • 40) 0,063 170 930 278 4 × 2 = 0 + 0,126 341 860 556 8;
  • 41) 0,126 341 860 556 8 × 2 = 0 + 0,252 683 721 113 6;
  • 42) 0,252 683 721 113 6 × 2 = 0 + 0,505 367 442 227 2;
  • 43) 0,505 367 442 227 2 × 2 = 1 + 0,010 734 884 454 4;
  • 44) 0,010 734 884 454 4 × 2 = 0 + 0,021 469 768 908 8;
  • 45) 0,021 469 768 908 8 × 2 = 0 + 0,042 939 537 817 6;
  • 46) 0,042 939 537 817 6 × 2 = 0 + 0,085 879 075 635 2;
  • 47) 0,085 879 075 635 2 × 2 = 0 + 0,171 758 151 270 4;
  • 48) 0,171 758 151 270 4 × 2 = 0 + 0,343 516 302 540 8;
  • 49) 0,343 516 302 540 8 × 2 = 0 + 0,687 032 605 081 6;
  • 50) 0,687 032 605 081 6 × 2 = 1 + 0,374 065 210 163 2;
  • 51) 0,374 065 210 163 2 × 2 = 0 + 0,748 130 420 326 4;
  • 52) 0,748 130 420 326 4 × 2 = 1 + 0,496 260 840 652 8;
  • 53) 0,496 260 840 652 8 × 2 = 0 + 0,992 521 681 305 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,120 999 999 999 3(10) =

0,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 0010 0000 0101 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

204,120 999 999 999 3(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 0010 0000 0101 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


204,120 999 999 999 3(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 0010 0000 0101 0(2) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 0010 0000 0101 0(2) × 20 =

1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0000 0100 0000 1010(2) × 27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 7

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0000 0100 0000 1010


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

7 + 2(11-1) - 1 =

(7 + 1 023)(10) =

1 030(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 030 : 2 = 515 + 0;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1030(10) =

100 0000 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0000 0100 0000 1010 =

1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0000 0100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0110

Mantisă (52 biți) =
1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0000 0100


Numărul zecimal 204,120 999 999 999 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0110 - 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0000 0100

» Scriere 204,121 000 000 006 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100