204,120 999 999 999 980 900 611 201 5 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 204,120 999 999 999 980 900 611 201 5(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
204,120 999 999 999 980 900 611 201 5(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 204.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 204 : 2 = 102 + 0;
  • 102 : 2 = 51 + 0;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

204(10) =

1100 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,120 999 999 999 980 900 611 201 5.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,120 999 999 999 980 900 611 201 5 × 2 = 0 + 0,241 999 999 999 961 801 222 403;
  • 2) 0,241 999 999 999 961 801 222 403 × 2 = 0 + 0,483 999 999 999 923 602 444 806;
  • 3) 0,483 999 999 999 923 602 444 806 × 2 = 0 + 0,967 999 999 999 847 204 889 612;
  • 4) 0,967 999 999 999 847 204 889 612 × 2 = 1 + 0,935 999 999 999 694 409 779 224;
  • 5) 0,935 999 999 999 694 409 779 224 × 2 = 1 + 0,871 999 999 999 388 819 558 448;
  • 6) 0,871 999 999 999 388 819 558 448 × 2 = 1 + 0,743 999 999 998 777 639 116 896;
  • 7) 0,743 999 999 998 777 639 116 896 × 2 = 1 + 0,487 999 999 997 555 278 233 792;
  • 8) 0,487 999 999 997 555 278 233 792 × 2 = 0 + 0,975 999 999 995 110 556 467 584;
  • 9) 0,975 999 999 995 110 556 467 584 × 2 = 1 + 0,951 999 999 990 221 112 935 168;
  • 10) 0,951 999 999 990 221 112 935 168 × 2 = 1 + 0,903 999 999 980 442 225 870 336;
  • 11) 0,903 999 999 980 442 225 870 336 × 2 = 1 + 0,807 999 999 960 884 451 740 672;
  • 12) 0,807 999 999 960 884 451 740 672 × 2 = 1 + 0,615 999 999 921 768 903 481 344;
  • 13) 0,615 999 999 921 768 903 481 344 × 2 = 1 + 0,231 999 999 843 537 806 962 688;
  • 14) 0,231 999 999 843 537 806 962 688 × 2 = 0 + 0,463 999 999 687 075 613 925 376;
  • 15) 0,463 999 999 687 075 613 925 376 × 2 = 0 + 0,927 999 999 374 151 227 850 752;
  • 16) 0,927 999 999 374 151 227 850 752 × 2 = 1 + 0,855 999 998 748 302 455 701 504;
  • 17) 0,855 999 998 748 302 455 701 504 × 2 = 1 + 0,711 999 997 496 604 911 403 008;
  • 18) 0,711 999 997 496 604 911 403 008 × 2 = 1 + 0,423 999 994 993 209 822 806 016;
  • 19) 0,423 999 994 993 209 822 806 016 × 2 = 0 + 0,847 999 989 986 419 645 612 032;
  • 20) 0,847 999 989 986 419 645 612 032 × 2 = 1 + 0,695 999 979 972 839 291 224 064;
  • 21) 0,695 999 979 972 839 291 224 064 × 2 = 1 + 0,391 999 959 945 678 582 448 128;
  • 22) 0,391 999 959 945 678 582 448 128 × 2 = 0 + 0,783 999 919 891 357 164 896 256;
  • 23) 0,783 999 919 891 357 164 896 256 × 2 = 1 + 0,567 999 839 782 714 329 792 512;
  • 24) 0,567 999 839 782 714 329 792 512 × 2 = 1 + 0,135 999 679 565 428 659 585 024;
  • 25) 0,135 999 679 565 428 659 585 024 × 2 = 0 + 0,271 999 359 130 857 319 170 048;
  • 26) 0,271 999 359 130 857 319 170 048 × 2 = 0 + 0,543 998 718 261 714 638 340 096;
  • 27) 0,543 998 718 261 714 638 340 096 × 2 = 1 + 0,087 997 436 523 429 276 680 192;
  • 28) 0,087 997 436 523 429 276 680 192 × 2 = 0 + 0,175 994 873 046 858 553 360 384;
  • 29) 0,175 994 873 046 858 553 360 384 × 2 = 0 + 0,351 989 746 093 717 106 720 768;
  • 30) 0,351 989 746 093 717 106 720 768 × 2 = 0 + 0,703 979 492 187 434 213 441 536;
  • 31) 0,703 979 492 187 434 213 441 536 × 2 = 1 + 0,407 958 984 374 868 426 883 072;
  • 32) 0,407 958 984 374 868 426 883 072 × 2 = 0 + 0,815 917 968 749 736 853 766 144;
  • 33) 0,815 917 968 749 736 853 766 144 × 2 = 1 + 0,631 835 937 499 473 707 532 288;
  • 34) 0,631 835 937 499 473 707 532 288 × 2 = 1 + 0,263 671 874 998 947 415 064 576;
  • 35) 0,263 671 874 998 947 415 064 576 × 2 = 0 + 0,527 343 749 997 894 830 129 152;
  • 36) 0,527 343 749 997 894 830 129 152 × 2 = 1 + 0,054 687 499 995 789 660 258 304;
  • 37) 0,054 687 499 995 789 660 258 304 × 2 = 0 + 0,109 374 999 991 579 320 516 608;
  • 38) 0,109 374 999 991 579 320 516 608 × 2 = 0 + 0,218 749 999 983 158 641 033 216;
  • 39) 0,218 749 999 983 158 641 033 216 × 2 = 0 + 0,437 499 999 966 317 282 066 432;
  • 40) 0,437 499 999 966 317 282 066 432 × 2 = 0 + 0,874 999 999 932 634 564 132 864;
  • 41) 0,874 999 999 932 634 564 132 864 × 2 = 1 + 0,749 999 999 865 269 128 265 728;
  • 42) 0,749 999 999 865 269 128 265 728 × 2 = 1 + 0,499 999 999 730 538 256 531 456;
  • 43) 0,499 999 999 730 538 256 531 456 × 2 = 0 + 0,999 999 999 461 076 513 062 912;
  • 44) 0,999 999 999 461 076 513 062 912 × 2 = 1 + 0,999 999 998 922 153 026 125 824;
  • 45) 0,999 999 998 922 153 026 125 824 × 2 = 1 + 0,999 999 997 844 306 052 251 648;
  • 46) 0,999 999 997 844 306 052 251 648 × 2 = 1 + 0,999 999 995 688 612 104 503 296;
  • 47) 0,999 999 995 688 612 104 503 296 × 2 = 1 + 0,999 999 991 377 224 209 006 592;
  • 48) 0,999 999 991 377 224 209 006 592 × 2 = 1 + 0,999 999 982 754 448 418 013 184;
  • 49) 0,999 999 982 754 448 418 013 184 × 2 = 1 + 0,999 999 965 508 896 836 026 368;
  • 50) 0,999 999 965 508 896 836 026 368 × 2 = 1 + 0,999 999 931 017 793 672 052 736;
  • 51) 0,999 999 931 017 793 672 052 736 × 2 = 1 + 0,999 999 862 035 587 344 105 472;
  • 52) 0,999 999 862 035 587 344 105 472 × 2 = 1 + 0,999 999 724 071 174 688 210 944;
  • 53) 0,999 999 724 071 174 688 210 944 × 2 = 1 + 0,999 999 448 142 349 376 421 888;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,120 999 999 999 980 900 611 201 5(10) =

0,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101 1111 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

204,120 999 999 999 980 900 611 201 5(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101 1111 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


204,120 999 999 999 980 900 611 201 5(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101 1111 1111 1(2) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1101 1111 1111 1(2) × 20 =

1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011 1111 1111(2) × 27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 7

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011 1111 1111


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

7 + 2(11-1) - 1 =

(7 + 1 023)(10) =

1 030(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 030 : 2 = 515 + 0;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1030(10) =

100 0000 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011 1111 1111 =

1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0110

Mantisă (52 biți) =
1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011


Numărul zecimal 204,120 999 999 999 980 900 611 201 5 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0110 - 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1011

Distribuie

» Scriere 204,120 999 999 999 980 900 611 210 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100