204,120 999 999 999 981 312 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 204,120 999 999 999 981 312(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
204,120 999 999 999 981 312(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 204.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 204 : 2 = 102 + 0;
  • 102 : 2 = 51 + 0;
  • 51 : 2 = 25 + 1;
  • 25 : 2 = 12 + 1;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

204(10) =

1100 1100(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,120 999 999 999 981 312.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,120 999 999 999 981 312 × 2 = 0 + 0,241 999 999 999 962 624;
  • 2) 0,241 999 999 999 962 624 × 2 = 0 + 0,483 999 999 999 925 248;
  • 3) 0,483 999 999 999 925 248 × 2 = 0 + 0,967 999 999 999 850 496;
  • 4) 0,967 999 999 999 850 496 × 2 = 1 + 0,935 999 999 999 700 992;
  • 5) 0,935 999 999 999 700 992 × 2 = 1 + 0,871 999 999 999 401 984;
  • 6) 0,871 999 999 999 401 984 × 2 = 1 + 0,743 999 999 998 803 968;
  • 7) 0,743 999 999 998 803 968 × 2 = 1 + 0,487 999 999 997 607 936;
  • 8) 0,487 999 999 997 607 936 × 2 = 0 + 0,975 999 999 995 215 872;
  • 9) 0,975 999 999 995 215 872 × 2 = 1 + 0,951 999 999 990 431 744;
  • 10) 0,951 999 999 990 431 744 × 2 = 1 + 0,903 999 999 980 863 488;
  • 11) 0,903 999 999 980 863 488 × 2 = 1 + 0,807 999 999 961 726 976;
  • 12) 0,807 999 999 961 726 976 × 2 = 1 + 0,615 999 999 923 453 952;
  • 13) 0,615 999 999 923 453 952 × 2 = 1 + 0,231 999 999 846 907 904;
  • 14) 0,231 999 999 846 907 904 × 2 = 0 + 0,463 999 999 693 815 808;
  • 15) 0,463 999 999 693 815 808 × 2 = 0 + 0,927 999 999 387 631 616;
  • 16) 0,927 999 999 387 631 616 × 2 = 1 + 0,855 999 998 775 263 232;
  • 17) 0,855 999 998 775 263 232 × 2 = 1 + 0,711 999 997 550 526 464;
  • 18) 0,711 999 997 550 526 464 × 2 = 1 + 0,423 999 995 101 052 928;
  • 19) 0,423 999 995 101 052 928 × 2 = 0 + 0,847 999 990 202 105 856;
  • 20) 0,847 999 990 202 105 856 × 2 = 1 + 0,695 999 980 404 211 712;
  • 21) 0,695 999 980 404 211 712 × 2 = 1 + 0,391 999 960 808 423 424;
  • 22) 0,391 999 960 808 423 424 × 2 = 0 + 0,783 999 921 616 846 848;
  • 23) 0,783 999 921 616 846 848 × 2 = 1 + 0,567 999 843 233 693 696;
  • 24) 0,567 999 843 233 693 696 × 2 = 1 + 0,135 999 686 467 387 392;
  • 25) 0,135 999 686 467 387 392 × 2 = 0 + 0,271 999 372 934 774 784;
  • 26) 0,271 999 372 934 774 784 × 2 = 0 + 0,543 998 745 869 549 568;
  • 27) 0,543 998 745 869 549 568 × 2 = 1 + 0,087 997 491 739 099 136;
  • 28) 0,087 997 491 739 099 136 × 2 = 0 + 0,175 994 983 478 198 272;
  • 29) 0,175 994 983 478 198 272 × 2 = 0 + 0,351 989 966 956 396 544;
  • 30) 0,351 989 966 956 396 544 × 2 = 0 + 0,703 979 933 912 793 088;
  • 31) 0,703 979 933 912 793 088 × 2 = 1 + 0,407 959 867 825 586 176;
  • 32) 0,407 959 867 825 586 176 × 2 = 0 + 0,815 919 735 651 172 352;
  • 33) 0,815 919 735 651 172 352 × 2 = 1 + 0,631 839 471 302 344 704;
  • 34) 0,631 839 471 302 344 704 × 2 = 1 + 0,263 678 942 604 689 408;
  • 35) 0,263 678 942 604 689 408 × 2 = 0 + 0,527 357 885 209 378 816;
  • 36) 0,527 357 885 209 378 816 × 2 = 1 + 0,054 715 770 418 757 632;
  • 37) 0,054 715 770 418 757 632 × 2 = 0 + 0,109 431 540 837 515 264;
  • 38) 0,109 431 540 837 515 264 × 2 = 0 + 0,218 863 081 675 030 528;
  • 39) 0,218 863 081 675 030 528 × 2 = 0 + 0,437 726 163 350 061 056;
  • 40) 0,437 726 163 350 061 056 × 2 = 0 + 0,875 452 326 700 122 112;
  • 41) 0,875 452 326 700 122 112 × 2 = 1 + 0,750 904 653 400 244 224;
  • 42) 0,750 904 653 400 244 224 × 2 = 1 + 0,501 809 306 800 488 448;
  • 43) 0,501 809 306 800 488 448 × 2 = 1 + 0,003 618 613 600 976 896;
  • 44) 0,003 618 613 600 976 896 × 2 = 0 + 0,007 237 227 201 953 792;
  • 45) 0,007 237 227 201 953 792 × 2 = 0 + 0,014 474 454 403 907 584;
  • 46) 0,014 474 454 403 907 584 × 2 = 0 + 0,028 948 908 807 815 168;
  • 47) 0,028 948 908 807 815 168 × 2 = 0 + 0,057 897 817 615 630 336;
  • 48) 0,057 897 817 615 630 336 × 2 = 0 + 0,115 795 635 231 260 672;
  • 49) 0,115 795 635 231 260 672 × 2 = 0 + 0,231 591 270 462 521 344;
  • 50) 0,231 591 270 462 521 344 × 2 = 0 + 0,463 182 540 925 042 688;
  • 51) 0,463 182 540 925 042 688 × 2 = 0 + 0,926 365 081 850 085 376;
  • 52) 0,926 365 081 850 085 376 × 2 = 1 + 0,852 730 163 700 170 752;
  • 53) 0,852 730 163 700 170 752 × 2 = 1 + 0,705 460 327 400 341 504;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,120 999 999 999 981 312(10) =

0,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

204,120 999 999 999 981 312(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 7 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


204,120 999 999 999 981 312(10) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2) =

1100 1100,0001 1110 1111 1001 1101 1011 0010 0010 1101 0000 1110 0000 0001 1(2) × 20 =

1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0011(2) × 27


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 7

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0011


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

7 + 2(11-1) - 1 =

(7 + 1 023)(10) =

1 030(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 030 : 2 = 515 + 0;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1030(10) =

100 0000 0110(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100 0000 0011 =

1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0110

Mantisă (52 biți) =
1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100


Numărul zecimal 204,120 999 999 999 981 312 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0110 - 1001 1000 0011 1101 1111 0011 1011 0110 0100 0101 1010 0001 1100

Distribuie

» Scriere 204,120 999 999 999 981 397 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100