2 048,098 120 956 52 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2 048,098 120 956 52(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2 048,098 120 956 52(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2 048.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 048 : 2 = 1 024 + 0;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2 048(10) =

1000 0000 0000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,098 120 956 52.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,098 120 956 52 × 2 = 0 + 0,196 241 913 04;
  • 2) 0,196 241 913 04 × 2 = 0 + 0,392 483 826 08;
  • 3) 0,392 483 826 08 × 2 = 0 + 0,784 967 652 16;
  • 4) 0,784 967 652 16 × 2 = 1 + 0,569 935 304 32;
  • 5) 0,569 935 304 32 × 2 = 1 + 0,139 870 608 64;
  • 6) 0,139 870 608 64 × 2 = 0 + 0,279 741 217 28;
  • 7) 0,279 741 217 28 × 2 = 0 + 0,559 482 434 56;
  • 8) 0,559 482 434 56 × 2 = 1 + 0,118 964 869 12;
  • 9) 0,118 964 869 12 × 2 = 0 + 0,237 929 738 24;
  • 10) 0,237 929 738 24 × 2 = 0 + 0,475 859 476 48;
  • 11) 0,475 859 476 48 × 2 = 0 + 0,951 718 952 96;
  • 12) 0,951 718 952 96 × 2 = 1 + 0,903 437 905 92;
  • 13) 0,903 437 905 92 × 2 = 1 + 0,806 875 811 84;
  • 14) 0,806 875 811 84 × 2 = 1 + 0,613 751 623 68;
  • 15) 0,613 751 623 68 × 2 = 1 + 0,227 503 247 36;
  • 16) 0,227 503 247 36 × 2 = 0 + 0,455 006 494 72;
  • 17) 0,455 006 494 72 × 2 = 0 + 0,910 012 989 44;
  • 18) 0,910 012 989 44 × 2 = 1 + 0,820 025 978 88;
  • 19) 0,820 025 978 88 × 2 = 1 + 0,640 051 957 76;
  • 20) 0,640 051 957 76 × 2 = 1 + 0,280 103 915 52;
  • 21) 0,280 103 915 52 × 2 = 0 + 0,560 207 831 04;
  • 22) 0,560 207 831 04 × 2 = 1 + 0,120 415 662 08;
  • 23) 0,120 415 662 08 × 2 = 0 + 0,240 831 324 16;
  • 24) 0,240 831 324 16 × 2 = 0 + 0,481 662 648 32;
  • 25) 0,481 662 648 32 × 2 = 0 + 0,963 325 296 64;
  • 26) 0,963 325 296 64 × 2 = 1 + 0,926 650 593 28;
  • 27) 0,926 650 593 28 × 2 = 1 + 0,853 301 186 56;
  • 28) 0,853 301 186 56 × 2 = 1 + 0,706 602 373 12;
  • 29) 0,706 602 373 12 × 2 = 1 + 0,413 204 746 24;
  • 30) 0,413 204 746 24 × 2 = 0 + 0,826 409 492 48;
  • 31) 0,826 409 492 48 × 2 = 1 + 0,652 818 984 96;
  • 32) 0,652 818 984 96 × 2 = 1 + 0,305 637 969 92;
  • 33) 0,305 637 969 92 × 2 = 0 + 0,611 275 939 84;
  • 34) 0,611 275 939 84 × 2 = 1 + 0,222 551 879 68;
  • 35) 0,222 551 879 68 × 2 = 0 + 0,445 103 759 36;
  • 36) 0,445 103 759 36 × 2 = 0 + 0,890 207 518 72;
  • 37) 0,890 207 518 72 × 2 = 1 + 0,780 415 037 44;
  • 38) 0,780 415 037 44 × 2 = 1 + 0,560 830 074 88;
  • 39) 0,560 830 074 88 × 2 = 1 + 0,121 660 149 76;
  • 40) 0,121 660 149 76 × 2 = 0 + 0,243 320 299 52;
  • 41) 0,243 320 299 52 × 2 = 0 + 0,486 640 599 04;
  • 42) 0,486 640 599 04 × 2 = 0 + 0,973 281 198 08;
  • 43) 0,973 281 198 08 × 2 = 1 + 0,946 562 396 16;
  • 44) 0,946 562 396 16 × 2 = 1 + 0,893 124 792 32;
  • 45) 0,893 124 792 32 × 2 = 1 + 0,786 249 584 64;
  • 46) 0,786 249 584 64 × 2 = 1 + 0,572 499 169 28;
  • 47) 0,572 499 169 28 × 2 = 1 + 0,144 998 338 56;
  • 48) 0,144 998 338 56 × 2 = 0 + 0,289 996 677 12;
  • 49) 0,289 996 677 12 × 2 = 0 + 0,579 993 354 24;
  • 50) 0,579 993 354 24 × 2 = 1 + 0,159 986 708 48;
  • 51) 0,159 986 708 48 × 2 = 0 + 0,319 973 416 96;
  • 52) 0,319 973 416 96 × 2 = 0 + 0,639 946 833 92;
  • 53) 0,639 946 833 92 × 2 = 1 + 0,279 893 667 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,098 120 956 52(10) =

0,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1011 0100 1110 0011 1110 0100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2 048,098 120 956 52(10) =

1000 0000 0000,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1011 0100 1110 0011 1110 0100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 11 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2 048,098 120 956 52(10) =

1000 0000 0000,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1011 0100 1110 0011 1110 0100 1(2) =

1000 0000 0000,0001 1001 0001 1110 0111 0100 0111 1011 0100 1110 0011 1110 0100 1(2) × 20 =

1,0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 0110 1001 1100 0111 1100 1001(2) × 211


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 11

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 0110 1001 1100 0111 1100 1001


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

11 + 2(11-1) - 1 =

(11 + 1 023)(10) =

1 034(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 034 : 2 = 517 + 0;
  • 517 : 2 = 258 + 1;
  • 258 : 2 = 129 + 0;
  • 129 : 2 = 64 + 1;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1034(10) =

100 0000 1010(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 0110 1001 1100 0111 1100 1001 =

0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 0110 1001 1100


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 1010

Mantisă (52 biți) =
0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 0110 1001 1100


Numărul zecimal 2 048,098 120 956 52 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 1010 - 0000 0000 0000 0011 0010 0011 1100 1110 1000 1111 0110 1001 1100

Distribuie

» Scriere 2 048,098 120 957 33 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100