2 145 571 579,002 405 78 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 2 145 571 579,002 405 78(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
2 145 571 579,002 405 78(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 2 145 571 579.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 2 145 571 579 : 2 = 1 072 785 789 + 1;
  • 1 072 785 789 : 2 = 536 392 894 + 1;
  • 536 392 894 : 2 = 268 196 447 + 0;
  • 268 196 447 : 2 = 134 098 223 + 1;
  • 134 098 223 : 2 = 67 049 111 + 1;
  • 67 049 111 : 2 = 33 524 555 + 1;
  • 33 524 555 : 2 = 16 762 277 + 1;
  • 16 762 277 : 2 = 8 381 138 + 1;
  • 8 381 138 : 2 = 4 190 569 + 0;
  • 4 190 569 : 2 = 2 095 284 + 1;
  • 2 095 284 : 2 = 1 047 642 + 0;
  • 1 047 642 : 2 = 523 821 + 0;
  • 523 821 : 2 = 261 910 + 1;
  • 261 910 : 2 = 130 955 + 0;
  • 130 955 : 2 = 65 477 + 1;
  • 65 477 : 2 = 32 738 + 1;
  • 32 738 : 2 = 16 369 + 0;
  • 16 369 : 2 = 8 184 + 1;
  • 8 184 : 2 = 4 092 + 0;
  • 4 092 : 2 = 2 046 + 0;
  • 2 046 : 2 = 1 023 + 0;
  • 1 023 : 2 = 511 + 1;
  • 511 : 2 = 255 + 1;
  • 255 : 2 = 127 + 1;
  • 127 : 2 = 63 + 1;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

2 145 571 579(10) =

111 1111 1110 0010 1101 0010 1111 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,002 405 78.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,002 405 78 × 2 = 0 + 0,004 811 56;
  • 2) 0,004 811 56 × 2 = 0 + 0,009 623 12;
  • 3) 0,009 623 12 × 2 = 0 + 0,019 246 24;
  • 4) 0,019 246 24 × 2 = 0 + 0,038 492 48;
  • 5) 0,038 492 48 × 2 = 0 + 0,076 984 96;
  • 6) 0,076 984 96 × 2 = 0 + 0,153 969 92;
  • 7) 0,153 969 92 × 2 = 0 + 0,307 939 84;
  • 8) 0,307 939 84 × 2 = 0 + 0,615 879 68;
  • 9) 0,615 879 68 × 2 = 1 + 0,231 759 36;
  • 10) 0,231 759 36 × 2 = 0 + 0,463 518 72;
  • 11) 0,463 518 72 × 2 = 0 + 0,927 037 44;
  • 12) 0,927 037 44 × 2 = 1 + 0,854 074 88;
  • 13) 0,854 074 88 × 2 = 1 + 0,708 149 76;
  • 14) 0,708 149 76 × 2 = 1 + 0,416 299 52;
  • 15) 0,416 299 52 × 2 = 0 + 0,832 599 04;
  • 16) 0,832 599 04 × 2 = 1 + 0,665 198 08;
  • 17) 0,665 198 08 × 2 = 1 + 0,330 396 16;
  • 18) 0,330 396 16 × 2 = 0 + 0,660 792 32;
  • 19) 0,660 792 32 × 2 = 1 + 0,321 584 64;
  • 20) 0,321 584 64 × 2 = 0 + 0,643 169 28;
  • 21) 0,643 169 28 × 2 = 1 + 0,286 338 56;
  • 22) 0,286 338 56 × 2 = 0 + 0,572 677 12;
  • 23) 0,572 677 12 × 2 = 1 + 0,145 354 24;
  • 24) 0,145 354 24 × 2 = 0 + 0,290 708 48;
  • 25) 0,290 708 48 × 2 = 0 + 0,581 416 96;
  • 26) 0,581 416 96 × 2 = 1 + 0,162 833 92;
  • 27) 0,162 833 92 × 2 = 0 + 0,325 667 84;
  • 28) 0,325 667 84 × 2 = 0 + 0,651 335 68;
  • 29) 0,651 335 68 × 2 = 1 + 0,302 671 36;
  • 30) 0,302 671 36 × 2 = 0 + 0,605 342 72;
  • 31) 0,605 342 72 × 2 = 1 + 0,210 685 44;
  • 32) 0,210 685 44 × 2 = 0 + 0,421 370 88;
  • 33) 0,421 370 88 × 2 = 0 + 0,842 741 76;
  • 34) 0,842 741 76 × 2 = 1 + 0,685 483 52;
  • 35) 0,685 483 52 × 2 = 1 + 0,370 967 04;
  • 36) 0,370 967 04 × 2 = 0 + 0,741 934 08;
  • 37) 0,741 934 08 × 2 = 1 + 0,483 868 16;
  • 38) 0,483 868 16 × 2 = 0 + 0,967 736 32;
  • 39) 0,967 736 32 × 2 = 1 + 0,935 472 64;
  • 40) 0,935 472 64 × 2 = 1 + 0,870 945 28;
  • 41) 0,870 945 28 × 2 = 1 + 0,741 890 56;
  • 42) 0,741 890 56 × 2 = 1 + 0,483 781 12;
  • 43) 0,483 781 12 × 2 = 0 + 0,967 562 24;
  • 44) 0,967 562 24 × 2 = 1 + 0,935 124 48;
  • 45) 0,935 124 48 × 2 = 1 + 0,870 248 96;
  • 46) 0,870 248 96 × 2 = 1 + 0,740 497 92;
  • 47) 0,740 497 92 × 2 = 1 + 0,480 995 84;
  • 48) 0,480 995 84 × 2 = 0 + 0,961 991 68;
  • 49) 0,961 991 68 × 2 = 1 + 0,923 983 36;
  • 50) 0,923 983 36 × 2 = 1 + 0,847 966 72;
  • 51) 0,847 966 72 × 2 = 1 + 0,695 933 44;
  • 52) 0,695 933 44 × 2 = 1 + 0,391 866 88;
  • 53) 0,391 866 88 × 2 = 0 + 0,783 733 76;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,002 405 78(10) =

0,0000 0000 1001 1101 1010 1010 0100 1010 0110 1011 1101 1110 1111 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

2 145 571 579,002 405 78(10) =

111 1111 1110 0010 1101 0010 1111 1011,0000 0000 1001 1101 1010 1010 0100 1010 0110 1011 1101 1110 1111 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 30 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


2 145 571 579,002 405 78(10) =

111 1111 1110 0010 1101 0010 1111 1011,0000 0000 1001 1101 1010 1010 0100 1010 0110 1011 1101 1110 1111 0(2) =

111 1111 1110 0010 1101 0010 1111 1011,0000 0000 1001 1101 1010 1010 0100 1010 0110 1011 1101 1110 1111 0(2) × 20 =

1,1111 1111 1000 1011 0100 1011 1110 1100 0000 0010 0111 0110 1010 1001 0010 1001 1010 1111 0111 1011 110(2) × 230


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 30

Mantisă (nenormalizată):
1,1111 1111 1000 1011 0100 1011 1110 1100 0000 0010 0111 0110 1010 1001 0010 1001 1010 1111 0111 1011 110


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

30 + 2(11-1) - 1 =

(30 + 1 023)(10) =

1 053(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 053 : 2 = 526 + 1;
  • 526 : 2 = 263 + 0;
  • 263 : 2 = 131 + 1;
  • 131 : 2 = 65 + 1;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1053(10) =

100 0001 1101(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1111 1111 1000 1011 0100 1011 1110 1100 0000 0010 0111 0110 1010 100 1001 0100 1101 0111 1011 1101 1110 =

1111 1111 1000 1011 0100 1011 1110 1100 0000 0010 0111 0110 1010


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 1101

Mantisă (52 biți) =
1111 1111 1000 1011 0100 1011 1110 1100 0000 0010 0111 0110 1010


Numărul zecimal 2 145 571 579,002 405 78 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 1101 - 1111 1111 1000 1011 0100 1011 1110 1100 0000 0010 0111 0110 1010

Distribuie

» Scriere 2 145 571 579,002 406 21 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100