24,777 777 777 777 777 845 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 24,777 777 777 777 777 845(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
24,777 777 777 777 777 845(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 24.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

24(10) =

1 1000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,777 777 777 777 777 845.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,777 777 777 777 777 845 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 555 69;
  • 2) 0,555 555 555 555 555 69 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 111 38;
  • 3) 0,111 111 111 111 111 38 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 222 76;
  • 4) 0,222 222 222 222 222 76 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 445 52;
  • 5) 0,444 444 444 444 445 52 × 2 = 0 + 0,888 888 888 888 891 04;
  • 6) 0,888 888 888 888 891 04 × 2 = 1 + 0,777 777 777 777 782 08;
  • 7) 0,777 777 777 777 782 08 × 2 = 1 + 0,555 555 555 555 564 16;
  • 8) 0,555 555 555 555 564 16 × 2 = 1 + 0,111 111 111 111 128 32;
  • 9) 0,111 111 111 111 128 32 × 2 = 0 + 0,222 222 222 222 256 64;
  • 10) 0,222 222 222 222 256 64 × 2 = 0 + 0,444 444 444 444 513 28;
  • 11) 0,444 444 444 444 513 28 × 2 = 0 + 0,888 888 888 889 026 56;
  • 12) 0,888 888 888 889 026 56 × 2 = 1 + 0,777 777 777 778 053 12;
  • 13) 0,777 777 777 778 053 12 × 2 = 1 + 0,555 555 555 556 106 24;
  • 14) 0,555 555 555 556 106 24 × 2 = 1 + 0,111 111 111 112 212 48;
  • 15) 0,111 111 111 112 212 48 × 2 = 0 + 0,222 222 222 224 424 96;
  • 16) 0,222 222 222 224 424 96 × 2 = 0 + 0,444 444 444 448 849 92;
  • 17) 0,444 444 444 448 849 92 × 2 = 0 + 0,888 888 888 897 699 84;
  • 18) 0,888 888 888 897 699 84 × 2 = 1 + 0,777 777 777 795 399 68;
  • 19) 0,777 777 777 795 399 68 × 2 = 1 + 0,555 555 555 590 799 36;
  • 20) 0,555 555 555 590 799 36 × 2 = 1 + 0,111 111 111 181 598 72;
  • 21) 0,111 111 111 181 598 72 × 2 = 0 + 0,222 222 222 363 197 44;
  • 22) 0,222 222 222 363 197 44 × 2 = 0 + 0,444 444 444 726 394 88;
  • 23) 0,444 444 444 726 394 88 × 2 = 0 + 0,888 888 889 452 789 76;
  • 24) 0,888 888 889 452 789 76 × 2 = 1 + 0,777 777 778 905 579 52;
  • 25) 0,777 777 778 905 579 52 × 2 = 1 + 0,555 555 557 811 159 04;
  • 26) 0,555 555 557 811 159 04 × 2 = 1 + 0,111 111 115 622 318 08;
  • 27) 0,111 111 115 622 318 08 × 2 = 0 + 0,222 222 231 244 636 16;
  • 28) 0,222 222 231 244 636 16 × 2 = 0 + 0,444 444 462 489 272 32;
  • 29) 0,444 444 462 489 272 32 × 2 = 0 + 0,888 888 924 978 544 64;
  • 30) 0,888 888 924 978 544 64 × 2 = 1 + 0,777 777 849 957 089 28;
  • 31) 0,777 777 849 957 089 28 × 2 = 1 + 0,555 555 699 914 178 56;
  • 32) 0,555 555 699 914 178 56 × 2 = 1 + 0,111 111 399 828 357 12;
  • 33) 0,111 111 399 828 357 12 × 2 = 0 + 0,222 222 799 656 714 24;
  • 34) 0,222 222 799 656 714 24 × 2 = 0 + 0,444 445 599 313 428 48;
  • 35) 0,444 445 599 313 428 48 × 2 = 0 + 0,888 891 198 626 856 96;
  • 36) 0,888 891 198 626 856 96 × 2 = 1 + 0,777 782 397 253 713 92;
  • 37) 0,777 782 397 253 713 92 × 2 = 1 + 0,555 564 794 507 427 84;
  • 38) 0,555 564 794 507 427 84 × 2 = 1 + 0,111 129 589 014 855 68;
  • 39) 0,111 129 589 014 855 68 × 2 = 0 + 0,222 259 178 029 711 36;
  • 40) 0,222 259 178 029 711 36 × 2 = 0 + 0,444 518 356 059 422 72;
  • 41) 0,444 518 356 059 422 72 × 2 = 0 + 0,889 036 712 118 845 44;
  • 42) 0,889 036 712 118 845 44 × 2 = 1 + 0,778 073 424 237 690 88;
  • 43) 0,778 073 424 237 690 88 × 2 = 1 + 0,556 146 848 475 381 76;
  • 44) 0,556 146 848 475 381 76 × 2 = 1 + 0,112 293 696 950 763 52;
  • 45) 0,112 293 696 950 763 52 × 2 = 0 + 0,224 587 393 901 527 04;
  • 46) 0,224 587 393 901 527 04 × 2 = 0 + 0,449 174 787 803 054 08;
  • 47) 0,449 174 787 803 054 08 × 2 = 0 + 0,898 349 575 606 108 16;
  • 48) 0,898 349 575 606 108 16 × 2 = 1 + 0,796 699 151 212 216 32;
  • 49) 0,796 699 151 212 216 32 × 2 = 1 + 0,593 398 302 424 432 64;
  • 50) 0,593 398 302 424 432 64 × 2 = 1 + 0,186 796 604 848 865 28;
  • 51) 0,186 796 604 848 865 28 × 2 = 0 + 0,373 593 209 697 730 56;
  • 52) 0,373 593 209 697 730 56 × 2 = 0 + 0,747 186 419 395 461 12;
  • 53) 0,747 186 419 395 461 12 × 2 = 1 + 0,494 372 838 790 922 24;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,777 777 777 777 777 845(10) =

0,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

24,777 777 777 777 777 845(10) =

1 1000,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


24,777 777 777 777 777 845(10) =

1 1000,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 1(2) =

1 1000,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 1(2) × 20 =

1,1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 1(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1 1001 =

1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001


Numărul zecimal 24,777 777 777 777 777 845 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001

Distribuie

» Scriere 24,777 777 777 777 777 86 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100