24,777 777 777 780 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 24,777 777 777 780 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
24,777 777 777 780 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 24.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 24 : 2 = 12 + 0;
  • 12 : 2 = 6 + 0;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

24(10) =

1 1000(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,777 777 777 780 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,777 777 777 780 1 × 2 = 1 + 0,555 555 555 560 2;
  • 2) 0,555 555 555 560 2 × 2 = 1 + 0,111 111 111 120 4;
  • 3) 0,111 111 111 120 4 × 2 = 0 + 0,222 222 222 240 8;
  • 4) 0,222 222 222 240 8 × 2 = 0 + 0,444 444 444 481 6;
  • 5) 0,444 444 444 481 6 × 2 = 0 + 0,888 888 888 963 2;
  • 6) 0,888 888 888 963 2 × 2 = 1 + 0,777 777 777 926 4;
  • 7) 0,777 777 777 926 4 × 2 = 1 + 0,555 555 555 852 8;
  • 8) 0,555 555 555 852 8 × 2 = 1 + 0,111 111 111 705 6;
  • 9) 0,111 111 111 705 6 × 2 = 0 + 0,222 222 223 411 2;
  • 10) 0,222 222 223 411 2 × 2 = 0 + 0,444 444 446 822 4;
  • 11) 0,444 444 446 822 4 × 2 = 0 + 0,888 888 893 644 8;
  • 12) 0,888 888 893 644 8 × 2 = 1 + 0,777 777 787 289 6;
  • 13) 0,777 777 787 289 6 × 2 = 1 + 0,555 555 574 579 2;
  • 14) 0,555 555 574 579 2 × 2 = 1 + 0,111 111 149 158 4;
  • 15) 0,111 111 149 158 4 × 2 = 0 + 0,222 222 298 316 8;
  • 16) 0,222 222 298 316 8 × 2 = 0 + 0,444 444 596 633 6;
  • 17) 0,444 444 596 633 6 × 2 = 0 + 0,888 889 193 267 2;
  • 18) 0,888 889 193 267 2 × 2 = 1 + 0,777 778 386 534 4;
  • 19) 0,777 778 386 534 4 × 2 = 1 + 0,555 556 773 068 8;
  • 20) 0,555 556 773 068 8 × 2 = 1 + 0,111 113 546 137 6;
  • 21) 0,111 113 546 137 6 × 2 = 0 + 0,222 227 092 275 2;
  • 22) 0,222 227 092 275 2 × 2 = 0 + 0,444 454 184 550 4;
  • 23) 0,444 454 184 550 4 × 2 = 0 + 0,888 908 369 100 8;
  • 24) 0,888 908 369 100 8 × 2 = 1 + 0,777 816 738 201 6;
  • 25) 0,777 816 738 201 6 × 2 = 1 + 0,555 633 476 403 2;
  • 26) 0,555 633 476 403 2 × 2 = 1 + 0,111 266 952 806 4;
  • 27) 0,111 266 952 806 4 × 2 = 0 + 0,222 533 905 612 8;
  • 28) 0,222 533 905 612 8 × 2 = 0 + 0,445 067 811 225 6;
  • 29) 0,445 067 811 225 6 × 2 = 0 + 0,890 135 622 451 2;
  • 30) 0,890 135 622 451 2 × 2 = 1 + 0,780 271 244 902 4;
  • 31) 0,780 271 244 902 4 × 2 = 1 + 0,560 542 489 804 8;
  • 32) 0,560 542 489 804 8 × 2 = 1 + 0,121 084 979 609 6;
  • 33) 0,121 084 979 609 6 × 2 = 0 + 0,242 169 959 219 2;
  • 34) 0,242 169 959 219 2 × 2 = 0 + 0,484 339 918 438 4;
  • 35) 0,484 339 918 438 4 × 2 = 0 + 0,968 679 836 876 8;
  • 36) 0,968 679 836 876 8 × 2 = 1 + 0,937 359 673 753 6;
  • 37) 0,937 359 673 753 6 × 2 = 1 + 0,874 719 347 507 2;
  • 38) 0,874 719 347 507 2 × 2 = 1 + 0,749 438 695 014 4;
  • 39) 0,749 438 695 014 4 × 2 = 1 + 0,498 877 390 028 8;
  • 40) 0,498 877 390 028 8 × 2 = 0 + 0,997 754 780 057 6;
  • 41) 0,997 754 780 057 6 × 2 = 1 + 0,995 509 560 115 2;
  • 42) 0,995 509 560 115 2 × 2 = 1 + 0,991 019 120 230 4;
  • 43) 0,991 019 120 230 4 × 2 = 1 + 0,982 038 240 460 8;
  • 44) 0,982 038 240 460 8 × 2 = 1 + 0,964 076 480 921 6;
  • 45) 0,964 076 480 921 6 × 2 = 1 + 0,928 152 961 843 2;
  • 46) 0,928 152 961 843 2 × 2 = 1 + 0,856 305 923 686 4;
  • 47) 0,856 305 923 686 4 × 2 = 1 + 0,712 611 847 372 8;
  • 48) 0,712 611 847 372 8 × 2 = 1 + 0,425 223 694 745 6;
  • 49) 0,425 223 694 745 6 × 2 = 0 + 0,850 447 389 491 2;
  • 50) 0,850 447 389 491 2 × 2 = 1 + 0,700 894 778 982 4;
  • 51) 0,700 894 778 982 4 × 2 = 1 + 0,401 789 557 964 8;
  • 52) 0,401 789 557 964 8 × 2 = 0 + 0,803 579 115 929 6;
  • 53) 0,803 579 115 929 6 × 2 = 1 + 0,607 158 231 859 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,777 777 777 780 1(10) =

0,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111 0110 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

24,777 777 777 780 1(10) =

1 1000,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111 0110 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


24,777 777 777 780 1(10) =

1 1000,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111 0110 1(2) =

1 1000,1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111 0110 1(2) × 20 =

1,1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111 0110 1(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111 0110 1


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111 0 1101 =

1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111


Numărul zecimal 24,777 777 777 780 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 1000 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1100 0111 0001 1110 1111 1111

Distribuie

» Scriere 24,777 777 777 787 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 06, 2026 [Iunie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iunie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100