241 317,426 001 548 766 207 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 241 317,426 001 548 766 207(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
241 317,426 001 548 766 207(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 241 317.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 241 317 : 2 = 120 658 + 1;
  • 120 658 : 2 = 60 329 + 0;
  • 60 329 : 2 = 30 164 + 1;
  • 30 164 : 2 = 15 082 + 0;
  • 15 082 : 2 = 7 541 + 0;
  • 7 541 : 2 = 3 770 + 1;
  • 3 770 : 2 = 1 885 + 0;
  • 1 885 : 2 = 942 + 1;
  • 942 : 2 = 471 + 0;
  • 471 : 2 = 235 + 1;
  • 235 : 2 = 117 + 1;
  • 117 : 2 = 58 + 1;
  • 58 : 2 = 29 + 0;
  • 29 : 2 = 14 + 1;
  • 14 : 2 = 7 + 0;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

241 317(10) =

11 1010 1110 1010 0101(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,426 001 548 766 207.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,426 001 548 766 207 × 2 = 0 + 0,852 003 097 532 414;
  • 2) 0,852 003 097 532 414 × 2 = 1 + 0,704 006 195 064 828;
  • 3) 0,704 006 195 064 828 × 2 = 1 + 0,408 012 390 129 656;
  • 4) 0,408 012 390 129 656 × 2 = 0 + 0,816 024 780 259 312;
  • 5) 0,816 024 780 259 312 × 2 = 1 + 0,632 049 560 518 624;
  • 6) 0,632 049 560 518 624 × 2 = 1 + 0,264 099 121 037 248;
  • 7) 0,264 099 121 037 248 × 2 = 0 + 0,528 198 242 074 496;
  • 8) 0,528 198 242 074 496 × 2 = 1 + 0,056 396 484 148 992;
  • 9) 0,056 396 484 148 992 × 2 = 0 + 0,112 792 968 297 984;
  • 10) 0,112 792 968 297 984 × 2 = 0 + 0,225 585 936 595 968;
  • 11) 0,225 585 936 595 968 × 2 = 0 + 0,451 171 873 191 936;
  • 12) 0,451 171 873 191 936 × 2 = 0 + 0,902 343 746 383 872;
  • 13) 0,902 343 746 383 872 × 2 = 1 + 0,804 687 492 767 744;
  • 14) 0,804 687 492 767 744 × 2 = 1 + 0,609 374 985 535 488;
  • 15) 0,609 374 985 535 488 × 2 = 1 + 0,218 749 971 070 976;
  • 16) 0,218 749 971 070 976 × 2 = 0 + 0,437 499 942 141 952;
  • 17) 0,437 499 942 141 952 × 2 = 0 + 0,874 999 884 283 904;
  • 18) 0,874 999 884 283 904 × 2 = 1 + 0,749 999 768 567 808;
  • 19) 0,749 999 768 567 808 × 2 = 1 + 0,499 999 537 135 616;
  • 20) 0,499 999 537 135 616 × 2 = 0 + 0,999 999 074 271 232;
  • 21) 0,999 999 074 271 232 × 2 = 1 + 0,999 998 148 542 464;
  • 22) 0,999 998 148 542 464 × 2 = 1 + 0,999 996 297 084 928;
  • 23) 0,999 996 297 084 928 × 2 = 1 + 0,999 992 594 169 856;
  • 24) 0,999 992 594 169 856 × 2 = 1 + 0,999 985 188 339 712;
  • 25) 0,999 985 188 339 712 × 2 = 1 + 0,999 970 376 679 424;
  • 26) 0,999 970 376 679 424 × 2 = 1 + 0,999 940 753 358 848;
  • 27) 0,999 940 753 358 848 × 2 = 1 + 0,999 881 506 717 696;
  • 28) 0,999 881 506 717 696 × 2 = 1 + 0,999 763 013 435 392;
  • 29) 0,999 763 013 435 392 × 2 = 1 + 0,999 526 026 870 784;
  • 30) 0,999 526 026 870 784 × 2 = 1 + 0,999 052 053 741 568;
  • 31) 0,999 052 053 741 568 × 2 = 1 + 0,998 104 107 483 136;
  • 32) 0,998 104 107 483 136 × 2 = 1 + 0,996 208 214 966 272;
  • 33) 0,996 208 214 966 272 × 2 = 1 + 0,992 416 429 932 544;
  • 34) 0,992 416 429 932 544 × 2 = 1 + 0,984 832 859 865 088;
  • 35) 0,984 832 859 865 088 × 2 = 1 + 0,969 665 719 730 176;
  • 36) 0,969 665 719 730 176 × 2 = 1 + 0,939 331 439 460 352;
  • 37) 0,939 331 439 460 352 × 2 = 1 + 0,878 662 878 920 704;
  • 38) 0,878 662 878 920 704 × 2 = 1 + 0,757 325 757 841 408;
  • 39) 0,757 325 757 841 408 × 2 = 1 + 0,514 651 515 682 816;
  • 40) 0,514 651 515 682 816 × 2 = 1 + 0,029 303 031 365 632;
  • 41) 0,029 303 031 365 632 × 2 = 0 + 0,058 606 062 731 264;
  • 42) 0,058 606 062 731 264 × 2 = 0 + 0,117 212 125 462 528;
  • 43) 0,117 212 125 462 528 × 2 = 0 + 0,234 424 250 925 056;
  • 44) 0,234 424 250 925 056 × 2 = 0 + 0,468 848 501 850 112;
  • 45) 0,468 848 501 850 112 × 2 = 0 + 0,937 697 003 700 224;
  • 46) 0,937 697 003 700 224 × 2 = 1 + 0,875 394 007 400 448;
  • 47) 0,875 394 007 400 448 × 2 = 1 + 0,750 788 014 800 896;
  • 48) 0,750 788 014 800 896 × 2 = 1 + 0,501 576 029 601 792;
  • 49) 0,501 576 029 601 792 × 2 = 1 + 0,003 152 059 203 584;
  • 50) 0,003 152 059 203 584 × 2 = 0 + 0,006 304 118 407 168;
  • 51) 0,006 304 118 407 168 × 2 = 0 + 0,012 608 236 814 336;
  • 52) 0,012 608 236 814 336 × 2 = 0 + 0,025 216 473 628 672;
  • 53) 0,025 216 473 628 672 × 2 = 0 + 0,050 432 947 257 344;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,426 001 548 766 207(10) =

0,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0111 1000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

241 317,426 001 548 766 207(10) =

11 1010 1110 1010 0101,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0111 1000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


241 317,426 001 548 766 207(10) =

11 1010 1110 1010 0101,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0111 1000 0(2) =

11 1010 1110 1010 0101,0110 1101 0000 1110 0110 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0111 1000 0(2) × 20 =

1,1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111 1111 1000 0011 1100 00(2) × 217


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 17

Mantisă (nenormalizată):
1,1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111 1111 1000 0011 1100 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

17 + 2(11-1) - 1 =

(17 + 1 023)(10) =

1 040(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 040 : 2 = 520 + 0;
  • 520 : 2 = 260 + 0;
  • 260 : 2 = 130 + 0;
  • 130 : 2 = 65 + 0;
  • 65 : 2 = 32 + 1;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1040(10) =

100 0001 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111 11 1110 0000 1111 0000 =

1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0001 0000

Mantisă (52 biți) =
1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111


Numărul zecimal 241 317,426 001 548 766 207 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0001 0000 - 1101 0111 0101 0010 1011 0110 1000 0111 0011 0111 1111 1111 1111

Distribuie

» Scriere 241 317,426 001 548 766 206 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100