265,105 000 000 804 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 265,105 000 000 804(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
265,105 000 000 804(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 265.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 265 : 2 = 132 + 1;
  • 132 : 2 = 66 + 0;
  • 66 : 2 = 33 + 0;
  • 33 : 2 = 16 + 1;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

265(10) =

1 0000 1001(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,105 000 000 804.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,105 000 000 804 × 2 = 0 + 0,210 000 001 608;
  • 2) 0,210 000 001 608 × 2 = 0 + 0,420 000 003 216;
  • 3) 0,420 000 003 216 × 2 = 0 + 0,840 000 006 432;
  • 4) 0,840 000 006 432 × 2 = 1 + 0,680 000 012 864;
  • 5) 0,680 000 012 864 × 2 = 1 + 0,360 000 025 728;
  • 6) 0,360 000 025 728 × 2 = 0 + 0,720 000 051 456;
  • 7) 0,720 000 051 456 × 2 = 1 + 0,440 000 102 912;
  • 8) 0,440 000 102 912 × 2 = 0 + 0,880 000 205 824;
  • 9) 0,880 000 205 824 × 2 = 1 + 0,760 000 411 648;
  • 10) 0,760 000 411 648 × 2 = 1 + 0,520 000 823 296;
  • 11) 0,520 000 823 296 × 2 = 1 + 0,040 001 646 592;
  • 12) 0,040 001 646 592 × 2 = 0 + 0,080 003 293 184;
  • 13) 0,080 003 293 184 × 2 = 0 + 0,160 006 586 368;
  • 14) 0,160 006 586 368 × 2 = 0 + 0,320 013 172 736;
  • 15) 0,320 013 172 736 × 2 = 0 + 0,640 026 345 472;
  • 16) 0,640 026 345 472 × 2 = 1 + 0,280 052 690 944;
  • 17) 0,280 052 690 944 × 2 = 0 + 0,560 105 381 888;
  • 18) 0,560 105 381 888 × 2 = 1 + 0,120 210 763 776;
  • 19) 0,120 210 763 776 × 2 = 0 + 0,240 421 527 552;
  • 20) 0,240 421 527 552 × 2 = 0 + 0,480 843 055 104;
  • 21) 0,480 843 055 104 × 2 = 0 + 0,961 686 110 208;
  • 22) 0,961 686 110 208 × 2 = 1 + 0,923 372 220 416;
  • 23) 0,923 372 220 416 × 2 = 1 + 0,846 744 440 832;
  • 24) 0,846 744 440 832 × 2 = 1 + 0,693 488 881 664;
  • 25) 0,693 488 881 664 × 2 = 1 + 0,386 977 763 328;
  • 26) 0,386 977 763 328 × 2 = 0 + 0,773 955 526 656;
  • 27) 0,773 955 526 656 × 2 = 1 + 0,547 911 053 312;
  • 28) 0,547 911 053 312 × 2 = 1 + 0,095 822 106 624;
  • 29) 0,095 822 106 624 × 2 = 0 + 0,191 644 213 248;
  • 30) 0,191 644 213 248 × 2 = 0 + 0,383 288 426 496;
  • 31) 0,383 288 426 496 × 2 = 0 + 0,766 576 852 992;
  • 32) 0,766 576 852 992 × 2 = 1 + 0,533 153 705 984;
  • 33) 0,533 153 705 984 × 2 = 1 + 0,066 307 411 968;
  • 34) 0,066 307 411 968 × 2 = 0 + 0,132 614 823 936;
  • 35) 0,132 614 823 936 × 2 = 0 + 0,265 229 647 872;
  • 36) 0,265 229 647 872 × 2 = 0 + 0,530 459 295 744;
  • 37) 0,530 459 295 744 × 2 = 1 + 0,060 918 591 488;
  • 38) 0,060 918 591 488 × 2 = 0 + 0,121 837 182 976;
  • 39) 0,121 837 182 976 × 2 = 0 + 0,243 674 365 952;
  • 40) 0,243 674 365 952 × 2 = 0 + 0,487 348 731 904;
  • 41) 0,487 348 731 904 × 2 = 0 + 0,974 697 463 808;
  • 42) 0,974 697 463 808 × 2 = 1 + 0,949 394 927 616;
  • 43) 0,949 394 927 616 × 2 = 1 + 0,898 789 855 232;
  • 44) 0,898 789 855 232 × 2 = 1 + 0,797 579 710 464;
  • 45) 0,797 579 710 464 × 2 = 1 + 0,595 159 420 928;
  • 46) 0,595 159 420 928 × 2 = 1 + 0,190 318 841 856;
  • 47) 0,190 318 841 856 × 2 = 0 + 0,380 637 683 712;
  • 48) 0,380 637 683 712 × 2 = 0 + 0,761 275 367 424;
  • 49) 0,761 275 367 424 × 2 = 1 + 0,522 550 734 848;
  • 50) 0,522 550 734 848 × 2 = 1 + 0,045 101 469 696;
  • 51) 0,045 101 469 696 × 2 = 0 + 0,090 202 939 392;
  • 52) 0,090 202 939 392 × 2 = 0 + 0,180 405 878 784;
  • 53) 0,180 405 878 784 × 2 = 0 + 0,360 811 757 568;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,105 000 000 804(10) =

0,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111 1100 1100 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

265,105 000 000 804(10) =

1 0000 1001,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111 1100 1100 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 8 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


265,105 000 000 804(10) =

1 0000 1001,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111 1100 1100 0(2) =

1 0000 1001,0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111 1100 1100 0(2) × 20 =

1,0000 1001 0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111 1100 1100 0(2) × 28


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 8

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1001 0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111 1100 1100 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

8 + 2(11-1) - 1 =

(8 + 1 023)(10) =

1 031(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 031 : 2 = 515 + 1;
  • 515 : 2 = 257 + 1;
  • 257 : 2 = 128 + 1;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1031(10) =

100 0000 0111(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1001 0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111 1 1001 1000 =

0000 1001 0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0111

Mantisă (52 biți) =
0000 1001 0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111


Numărul zecimal 265,105 000 000 804 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0111 - 0000 1001 0001 1010 1110 0001 0100 0111 1011 0001 1000 1000 0111

Distribuie

» Scriere 265,105 000 000 708 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100