27,257 299 999 999 997 258 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 27,257 299 999 999 997 258 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
27,257 299 999 999 997 258 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 27.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

27(10) =

1 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,257 299 999 999 997 258 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,257 299 999 999 997 258 2 × 2 = 0 + 0,514 599 999 999 994 516 4;
  • 2) 0,514 599 999 999 994 516 4 × 2 = 1 + 0,029 199 999 999 989 032 8;
  • 3) 0,029 199 999 999 989 032 8 × 2 = 0 + 0,058 399 999 999 978 065 6;
  • 4) 0,058 399 999 999 978 065 6 × 2 = 0 + 0,116 799 999 999 956 131 2;
  • 5) 0,116 799 999 999 956 131 2 × 2 = 0 + 0,233 599 999 999 912 262 4;
  • 6) 0,233 599 999 999 912 262 4 × 2 = 0 + 0,467 199 999 999 824 524 8;
  • 7) 0,467 199 999 999 824 524 8 × 2 = 0 + 0,934 399 999 999 649 049 6;
  • 8) 0,934 399 999 999 649 049 6 × 2 = 1 + 0,868 799 999 999 298 099 2;
  • 9) 0,868 799 999 999 298 099 2 × 2 = 1 + 0,737 599 999 998 596 198 4;
  • 10) 0,737 599 999 998 596 198 4 × 2 = 1 + 0,475 199 999 997 192 396 8;
  • 11) 0,475 199 999 997 192 396 8 × 2 = 0 + 0,950 399 999 994 384 793 6;
  • 12) 0,950 399 999 994 384 793 6 × 2 = 1 + 0,900 799 999 988 769 587 2;
  • 13) 0,900 799 999 988 769 587 2 × 2 = 1 + 0,801 599 999 977 539 174 4;
  • 14) 0,801 599 999 977 539 174 4 × 2 = 1 + 0,603 199 999 955 078 348 8;
  • 15) 0,603 199 999 955 078 348 8 × 2 = 1 + 0,206 399 999 910 156 697 6;
  • 16) 0,206 399 999 910 156 697 6 × 2 = 0 + 0,412 799 999 820 313 395 2;
  • 17) 0,412 799 999 820 313 395 2 × 2 = 0 + 0,825 599 999 640 626 790 4;
  • 18) 0,825 599 999 640 626 790 4 × 2 = 1 + 0,651 199 999 281 253 580 8;
  • 19) 0,651 199 999 281 253 580 8 × 2 = 1 + 0,302 399 998 562 507 161 6;
  • 20) 0,302 399 998 562 507 161 6 × 2 = 0 + 0,604 799 997 125 014 323 2;
  • 21) 0,604 799 997 125 014 323 2 × 2 = 1 + 0,209 599 994 250 028 646 4;
  • 22) 0,209 599 994 250 028 646 4 × 2 = 0 + 0,419 199 988 500 057 292 8;
  • 23) 0,419 199 988 500 057 292 8 × 2 = 0 + 0,838 399 977 000 114 585 6;
  • 24) 0,838 399 977 000 114 585 6 × 2 = 1 + 0,676 799 954 000 229 171 2;
  • 25) 0,676 799 954 000 229 171 2 × 2 = 1 + 0,353 599 908 000 458 342 4;
  • 26) 0,353 599 908 000 458 342 4 × 2 = 0 + 0,707 199 816 000 916 684 8;
  • 27) 0,707 199 816 000 916 684 8 × 2 = 1 + 0,414 399 632 001 833 369 6;
  • 28) 0,414 399 632 001 833 369 6 × 2 = 0 + 0,828 799 264 003 666 739 2;
  • 29) 0,828 799 264 003 666 739 2 × 2 = 1 + 0,657 598 528 007 333 478 4;
  • 30) 0,657 598 528 007 333 478 4 × 2 = 1 + 0,315 197 056 014 666 956 8;
  • 31) 0,315 197 056 014 666 956 8 × 2 = 0 + 0,630 394 112 029 333 913 6;
  • 32) 0,630 394 112 029 333 913 6 × 2 = 1 + 0,260 788 224 058 667 827 2;
  • 33) 0,260 788 224 058 667 827 2 × 2 = 0 + 0,521 576 448 117 335 654 4;
  • 34) 0,521 576 448 117 335 654 4 × 2 = 1 + 0,043 152 896 234 671 308 8;
  • 35) 0,043 152 896 234 671 308 8 × 2 = 0 + 0,086 305 792 469 342 617 6;
  • 36) 0,086 305 792 469 342 617 6 × 2 = 0 + 0,172 611 584 938 685 235 2;
  • 37) 0,172 611 584 938 685 235 2 × 2 = 0 + 0,345 223 169 877 370 470 4;
  • 38) 0,345 223 169 877 370 470 4 × 2 = 0 + 0,690 446 339 754 740 940 8;
  • 39) 0,690 446 339 754 740 940 8 × 2 = 1 + 0,380 892 679 509 481 881 6;
  • 40) 0,380 892 679 509 481 881 6 × 2 = 0 + 0,761 785 359 018 963 763 2;
  • 41) 0,761 785 359 018 963 763 2 × 2 = 1 + 0,523 570 718 037 927 526 4;
  • 42) 0,523 570 718 037 927 526 4 × 2 = 1 + 0,047 141 436 075 855 052 8;
  • 43) 0,047 141 436 075 855 052 8 × 2 = 0 + 0,094 282 872 151 710 105 6;
  • 44) 0,094 282 872 151 710 105 6 × 2 = 0 + 0,188 565 744 303 420 211 2;
  • 45) 0,188 565 744 303 420 211 2 × 2 = 0 + 0,377 131 488 606 840 422 4;
  • 46) 0,377 131 488 606 840 422 4 × 2 = 0 + 0,754 262 977 213 680 844 8;
  • 47) 0,754 262 977 213 680 844 8 × 2 = 1 + 0,508 525 954 427 361 689 6;
  • 48) 0,508 525 954 427 361 689 6 × 2 = 1 + 0,017 051 908 854 723 379 2;
  • 49) 0,017 051 908 854 723 379 2 × 2 = 0 + 0,034 103 817 709 446 758 4;
  • 50) 0,034 103 817 709 446 758 4 × 2 = 0 + 0,068 207 635 418 893 516 8;
  • 51) 0,068 207 635 418 893 516 8 × 2 = 0 + 0,136 415 270 837 787 033 6;
  • 52) 0,136 415 270 837 787 033 6 × 2 = 0 + 0,272 830 541 675 574 067 2;
  • 53) 0,272 830 541 675 574 067 2 × 2 = 0 + 0,545 661 083 351 148 134 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,257 299 999 999 997 258 2(10) =

0,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

27,257 299 999 999 997 258 2(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


27,257 299 999 999 997 258 2(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2) × 20 =

1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0 0000 =

1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


Numărul zecimal 27,257 299 999 999 997 258 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011

Distribuie

» Scriere 27,257 299 999 999 997 266 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100