27,257 299 999 999 997 263 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 27,257 299 999 999 997 263 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
27,257 299 999 999 997 263 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 27.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

27(10) =

1 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,257 299 999 999 997 263 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,257 299 999 999 997 263 3 × 2 = 0 + 0,514 599 999 999 994 526 6;
  • 2) 0,514 599 999 999 994 526 6 × 2 = 1 + 0,029 199 999 999 989 053 2;
  • 3) 0,029 199 999 999 989 053 2 × 2 = 0 + 0,058 399 999 999 978 106 4;
  • 4) 0,058 399 999 999 978 106 4 × 2 = 0 + 0,116 799 999 999 956 212 8;
  • 5) 0,116 799 999 999 956 212 8 × 2 = 0 + 0,233 599 999 999 912 425 6;
  • 6) 0,233 599 999 999 912 425 6 × 2 = 0 + 0,467 199 999 999 824 851 2;
  • 7) 0,467 199 999 999 824 851 2 × 2 = 0 + 0,934 399 999 999 649 702 4;
  • 8) 0,934 399 999 999 649 702 4 × 2 = 1 + 0,868 799 999 999 299 404 8;
  • 9) 0,868 799 999 999 299 404 8 × 2 = 1 + 0,737 599 999 998 598 809 6;
  • 10) 0,737 599 999 998 598 809 6 × 2 = 1 + 0,475 199 999 997 197 619 2;
  • 11) 0,475 199 999 997 197 619 2 × 2 = 0 + 0,950 399 999 994 395 238 4;
  • 12) 0,950 399 999 994 395 238 4 × 2 = 1 + 0,900 799 999 988 790 476 8;
  • 13) 0,900 799 999 988 790 476 8 × 2 = 1 + 0,801 599 999 977 580 953 6;
  • 14) 0,801 599 999 977 580 953 6 × 2 = 1 + 0,603 199 999 955 161 907 2;
  • 15) 0,603 199 999 955 161 907 2 × 2 = 1 + 0,206 399 999 910 323 814 4;
  • 16) 0,206 399 999 910 323 814 4 × 2 = 0 + 0,412 799 999 820 647 628 8;
  • 17) 0,412 799 999 820 647 628 8 × 2 = 0 + 0,825 599 999 641 295 257 6;
  • 18) 0,825 599 999 641 295 257 6 × 2 = 1 + 0,651 199 999 282 590 515 2;
  • 19) 0,651 199 999 282 590 515 2 × 2 = 1 + 0,302 399 998 565 181 030 4;
  • 20) 0,302 399 998 565 181 030 4 × 2 = 0 + 0,604 799 997 130 362 060 8;
  • 21) 0,604 799 997 130 362 060 8 × 2 = 1 + 0,209 599 994 260 724 121 6;
  • 22) 0,209 599 994 260 724 121 6 × 2 = 0 + 0,419 199 988 521 448 243 2;
  • 23) 0,419 199 988 521 448 243 2 × 2 = 0 + 0,838 399 977 042 896 486 4;
  • 24) 0,838 399 977 042 896 486 4 × 2 = 1 + 0,676 799 954 085 792 972 8;
  • 25) 0,676 799 954 085 792 972 8 × 2 = 1 + 0,353 599 908 171 585 945 6;
  • 26) 0,353 599 908 171 585 945 6 × 2 = 0 + 0,707 199 816 343 171 891 2;
  • 27) 0,707 199 816 343 171 891 2 × 2 = 1 + 0,414 399 632 686 343 782 4;
  • 28) 0,414 399 632 686 343 782 4 × 2 = 0 + 0,828 799 265 372 687 564 8;
  • 29) 0,828 799 265 372 687 564 8 × 2 = 1 + 0,657 598 530 745 375 129 6;
  • 30) 0,657 598 530 745 375 129 6 × 2 = 1 + 0,315 197 061 490 750 259 2;
  • 31) 0,315 197 061 490 750 259 2 × 2 = 0 + 0,630 394 122 981 500 518 4;
  • 32) 0,630 394 122 981 500 518 4 × 2 = 1 + 0,260 788 245 963 001 036 8;
  • 33) 0,260 788 245 963 001 036 8 × 2 = 0 + 0,521 576 491 926 002 073 6;
  • 34) 0,521 576 491 926 002 073 6 × 2 = 1 + 0,043 152 983 852 004 147 2;
  • 35) 0,043 152 983 852 004 147 2 × 2 = 0 + 0,086 305 967 704 008 294 4;
  • 36) 0,086 305 967 704 008 294 4 × 2 = 0 + 0,172 611 935 408 016 588 8;
  • 37) 0,172 611 935 408 016 588 8 × 2 = 0 + 0,345 223 870 816 033 177 6;
  • 38) 0,345 223 870 816 033 177 6 × 2 = 0 + 0,690 447 741 632 066 355 2;
  • 39) 0,690 447 741 632 066 355 2 × 2 = 1 + 0,380 895 483 264 132 710 4;
  • 40) 0,380 895 483 264 132 710 4 × 2 = 0 + 0,761 790 966 528 265 420 8;
  • 41) 0,761 790 966 528 265 420 8 × 2 = 1 + 0,523 581 933 056 530 841 6;
  • 42) 0,523 581 933 056 530 841 6 × 2 = 1 + 0,047 163 866 113 061 683 2;
  • 43) 0,047 163 866 113 061 683 2 × 2 = 0 + 0,094 327 732 226 123 366 4;
  • 44) 0,094 327 732 226 123 366 4 × 2 = 0 + 0,188 655 464 452 246 732 8;
  • 45) 0,188 655 464 452 246 732 8 × 2 = 0 + 0,377 310 928 904 493 465 6;
  • 46) 0,377 310 928 904 493 465 6 × 2 = 0 + 0,754 621 857 808 986 931 2;
  • 47) 0,754 621 857 808 986 931 2 × 2 = 1 + 0,509 243 715 617 973 862 4;
  • 48) 0,509 243 715 617 973 862 4 × 2 = 1 + 0,018 487 431 235 947 724 8;
  • 49) 0,018 487 431 235 947 724 8 × 2 = 0 + 0,036 974 862 471 895 449 6;
  • 50) 0,036 974 862 471 895 449 6 × 2 = 0 + 0,073 949 724 943 790 899 2;
  • 51) 0,073 949 724 943 790 899 2 × 2 = 0 + 0,147 899 449 887 581 798 4;
  • 52) 0,147 899 449 887 581 798 4 × 2 = 0 + 0,295 798 899 775 163 596 8;
  • 53) 0,295 798 899 775 163 596 8 × 2 = 0 + 0,591 597 799 550 327 193 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,257 299 999 999 997 263 3(10) =

0,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

27,257 299 999 999 997 263 3(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


27,257 299 999 999 997 263 3(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2) × 20 =

1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0000 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0 0000 =

1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


Numărul zecimal 27,257 299 999 999 997 263 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011

Distribuie

» Scriere 27,257 299 999 999 997 263 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100