27,257 299 999 999 997 95 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 27,257 299 999 999 997 95(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
27,257 299 999 999 997 95(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 27.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 27 : 2 = 13 + 1;
  • 13 : 2 = 6 + 1;
  • 6 : 2 = 3 + 0;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

27(10) =

1 1011(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,257 299 999 999 997 95.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,257 299 999 999 997 95 × 2 = 0 + 0,514 599 999 999 995 9;
  • 2) 0,514 599 999 999 995 9 × 2 = 1 + 0,029 199 999 999 991 8;
  • 3) 0,029 199 999 999 991 8 × 2 = 0 + 0,058 399 999 999 983 6;
  • 4) 0,058 399 999 999 983 6 × 2 = 0 + 0,116 799 999 999 967 2;
  • 5) 0,116 799 999 999 967 2 × 2 = 0 + 0,233 599 999 999 934 4;
  • 6) 0,233 599 999 999 934 4 × 2 = 0 + 0,467 199 999 999 868 8;
  • 7) 0,467 199 999 999 868 8 × 2 = 0 + 0,934 399 999 999 737 6;
  • 8) 0,934 399 999 999 737 6 × 2 = 1 + 0,868 799 999 999 475 2;
  • 9) 0,868 799 999 999 475 2 × 2 = 1 + 0,737 599 999 998 950 4;
  • 10) 0,737 599 999 998 950 4 × 2 = 1 + 0,475 199 999 997 900 8;
  • 11) 0,475 199 999 997 900 8 × 2 = 0 + 0,950 399 999 995 801 6;
  • 12) 0,950 399 999 995 801 6 × 2 = 1 + 0,900 799 999 991 603 2;
  • 13) 0,900 799 999 991 603 2 × 2 = 1 + 0,801 599 999 983 206 4;
  • 14) 0,801 599 999 983 206 4 × 2 = 1 + 0,603 199 999 966 412 8;
  • 15) 0,603 199 999 966 412 8 × 2 = 1 + 0,206 399 999 932 825 6;
  • 16) 0,206 399 999 932 825 6 × 2 = 0 + 0,412 799 999 865 651 2;
  • 17) 0,412 799 999 865 651 2 × 2 = 0 + 0,825 599 999 731 302 4;
  • 18) 0,825 599 999 731 302 4 × 2 = 1 + 0,651 199 999 462 604 8;
  • 19) 0,651 199 999 462 604 8 × 2 = 1 + 0,302 399 998 925 209 6;
  • 20) 0,302 399 998 925 209 6 × 2 = 0 + 0,604 799 997 850 419 2;
  • 21) 0,604 799 997 850 419 2 × 2 = 1 + 0,209 599 995 700 838 4;
  • 22) 0,209 599 995 700 838 4 × 2 = 0 + 0,419 199 991 401 676 8;
  • 23) 0,419 199 991 401 676 8 × 2 = 0 + 0,838 399 982 803 353 6;
  • 24) 0,838 399 982 803 353 6 × 2 = 1 + 0,676 799 965 606 707 2;
  • 25) 0,676 799 965 606 707 2 × 2 = 1 + 0,353 599 931 213 414 4;
  • 26) 0,353 599 931 213 414 4 × 2 = 0 + 0,707 199 862 426 828 8;
  • 27) 0,707 199 862 426 828 8 × 2 = 1 + 0,414 399 724 853 657 6;
  • 28) 0,414 399 724 853 657 6 × 2 = 0 + 0,828 799 449 707 315 2;
  • 29) 0,828 799 449 707 315 2 × 2 = 1 + 0,657 598 899 414 630 4;
  • 30) 0,657 598 899 414 630 4 × 2 = 1 + 0,315 197 798 829 260 8;
  • 31) 0,315 197 798 829 260 8 × 2 = 0 + 0,630 395 597 658 521 6;
  • 32) 0,630 395 597 658 521 6 × 2 = 1 + 0,260 791 195 317 043 2;
  • 33) 0,260 791 195 317 043 2 × 2 = 0 + 0,521 582 390 634 086 4;
  • 34) 0,521 582 390 634 086 4 × 2 = 1 + 0,043 164 781 268 172 8;
  • 35) 0,043 164 781 268 172 8 × 2 = 0 + 0,086 329 562 536 345 6;
  • 36) 0,086 329 562 536 345 6 × 2 = 0 + 0,172 659 125 072 691 2;
  • 37) 0,172 659 125 072 691 2 × 2 = 0 + 0,345 318 250 145 382 4;
  • 38) 0,345 318 250 145 382 4 × 2 = 0 + 0,690 636 500 290 764 8;
  • 39) 0,690 636 500 290 764 8 × 2 = 1 + 0,381 273 000 581 529 6;
  • 40) 0,381 273 000 581 529 6 × 2 = 0 + 0,762 546 001 163 059 2;
  • 41) 0,762 546 001 163 059 2 × 2 = 1 + 0,525 092 002 326 118 4;
  • 42) 0,525 092 002 326 118 4 × 2 = 1 + 0,050 184 004 652 236 8;
  • 43) 0,050 184 004 652 236 8 × 2 = 0 + 0,100 368 009 304 473 6;
  • 44) 0,100 368 009 304 473 6 × 2 = 0 + 0,200 736 018 608 947 2;
  • 45) 0,200 736 018 608 947 2 × 2 = 0 + 0,401 472 037 217 894 4;
  • 46) 0,401 472 037 217 894 4 × 2 = 0 + 0,802 944 074 435 788 8;
  • 47) 0,802 944 074 435 788 8 × 2 = 1 + 0,605 888 148 871 577 6;
  • 48) 0,605 888 148 871 577 6 × 2 = 1 + 0,211 776 297 743 155 2;
  • 49) 0,211 776 297 743 155 2 × 2 = 0 + 0,423 552 595 486 310 4;
  • 50) 0,423 552 595 486 310 4 × 2 = 0 + 0,847 105 190 972 620 8;
  • 51) 0,847 105 190 972 620 8 × 2 = 1 + 0,694 210 381 945 241 6;
  • 52) 0,694 210 381 945 241 6 × 2 = 1 + 0,388 420 763 890 483 2;
  • 53) 0,388 420 763 890 483 2 × 2 = 0 + 0,776 841 527 780 966 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,257 299 999 999 997 95(10) =

0,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0011 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

27,257 299 999 999 997 95(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0011 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 4 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


27,257 299 999 999 997 95(10) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0011 0(2) =

1 1011,0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0011 0(2) × 20 =

1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0011 0(2) × 24


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 4

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0011 0


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

4 + 2(11-1) - 1 =

(4 + 1 023)(10) =

1 027(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 027 : 2 = 513 + 1;
  • 513 : 2 = 256 + 1;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1027(10) =

100 0000 0011(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011 0 0110 =

1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0011

Mantisă (52 biți) =
1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011


Numărul zecimal 27,257 299 999 999 997 95 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0011 - 1011 0100 0001 1101 1110 0110 1001 1010 1101 0100 0010 1100 0011

» Scriere 27,257 299 999 999 997 76 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100