3,123 145 321 678 985 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,123 145 321 678 985 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,123 145 321 678 985 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 145 321 678 985 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 145 321 678 985 9 × 2 = 0 + 0,246 290 643 357 971 8;
  • 2) 0,246 290 643 357 971 8 × 2 = 0 + 0,492 581 286 715 943 6;
  • 3) 0,492 581 286 715 943 6 × 2 = 0 + 0,985 162 573 431 887 2;
  • 4) 0,985 162 573 431 887 2 × 2 = 1 + 0,970 325 146 863 774 4;
  • 5) 0,970 325 146 863 774 4 × 2 = 1 + 0,940 650 293 727 548 8;
  • 6) 0,940 650 293 727 548 8 × 2 = 1 + 0,881 300 587 455 097 6;
  • 7) 0,881 300 587 455 097 6 × 2 = 1 + 0,762 601 174 910 195 2;
  • 8) 0,762 601 174 910 195 2 × 2 = 1 + 0,525 202 349 820 390 4;
  • 9) 0,525 202 349 820 390 4 × 2 = 1 + 0,050 404 699 640 780 8;
  • 10) 0,050 404 699 640 780 8 × 2 = 0 + 0,100 809 399 281 561 6;
  • 11) 0,100 809 399 281 561 6 × 2 = 0 + 0,201 618 798 563 123 2;
  • 12) 0,201 618 798 563 123 2 × 2 = 0 + 0,403 237 597 126 246 4;
  • 13) 0,403 237 597 126 246 4 × 2 = 0 + 0,806 475 194 252 492 8;
  • 14) 0,806 475 194 252 492 8 × 2 = 1 + 0,612 950 388 504 985 6;
  • 15) 0,612 950 388 504 985 6 × 2 = 1 + 0,225 900 777 009 971 2;
  • 16) 0,225 900 777 009 971 2 × 2 = 0 + 0,451 801 554 019 942 4;
  • 17) 0,451 801 554 019 942 4 × 2 = 0 + 0,903 603 108 039 884 8;
  • 18) 0,903 603 108 039 884 8 × 2 = 1 + 0,807 206 216 079 769 6;
  • 19) 0,807 206 216 079 769 6 × 2 = 1 + 0,614 412 432 159 539 2;
  • 20) 0,614 412 432 159 539 2 × 2 = 1 + 0,228 824 864 319 078 4;
  • 21) 0,228 824 864 319 078 4 × 2 = 0 + 0,457 649 728 638 156 8;
  • 22) 0,457 649 728 638 156 8 × 2 = 0 + 0,915 299 457 276 313 6;
  • 23) 0,915 299 457 276 313 6 × 2 = 1 + 0,830 598 914 552 627 2;
  • 24) 0,830 598 914 552 627 2 × 2 = 1 + 0,661 197 829 105 254 4;
  • 25) 0,661 197 829 105 254 4 × 2 = 1 + 0,322 395 658 210 508 8;
  • 26) 0,322 395 658 210 508 8 × 2 = 0 + 0,644 791 316 421 017 6;
  • 27) 0,644 791 316 421 017 6 × 2 = 1 + 0,289 582 632 842 035 2;
  • 28) 0,289 582 632 842 035 2 × 2 = 0 + 0,579 165 265 684 070 4;
  • 29) 0,579 165 265 684 070 4 × 2 = 1 + 0,158 330 531 368 140 8;
  • 30) 0,158 330 531 368 140 8 × 2 = 0 + 0,316 661 062 736 281 6;
  • 31) 0,316 661 062 736 281 6 × 2 = 0 + 0,633 322 125 472 563 2;
  • 32) 0,633 322 125 472 563 2 × 2 = 1 + 0,266 644 250 945 126 4;
  • 33) 0,266 644 250 945 126 4 × 2 = 0 + 0,533 288 501 890 252 8;
  • 34) 0,533 288 501 890 252 8 × 2 = 1 + 0,066 577 003 780 505 6;
  • 35) 0,066 577 003 780 505 6 × 2 = 0 + 0,133 154 007 561 011 2;
  • 36) 0,133 154 007 561 011 2 × 2 = 0 + 0,266 308 015 122 022 4;
  • 37) 0,266 308 015 122 022 4 × 2 = 0 + 0,532 616 030 244 044 8;
  • 38) 0,532 616 030 244 044 8 × 2 = 1 + 0,065 232 060 488 089 6;
  • 39) 0,065 232 060 488 089 6 × 2 = 0 + 0,130 464 120 976 179 2;
  • 40) 0,130 464 120 976 179 2 × 2 = 0 + 0,260 928 241 952 358 4;
  • 41) 0,260 928 241 952 358 4 × 2 = 0 + 0,521 856 483 904 716 8;
  • 42) 0,521 856 483 904 716 8 × 2 = 1 + 0,043 712 967 809 433 6;
  • 43) 0,043 712 967 809 433 6 × 2 = 0 + 0,087 425 935 618 867 2;
  • 44) 0,087 425 935 618 867 2 × 2 = 0 + 0,174 851 871 237 734 4;
  • 45) 0,174 851 871 237 734 4 × 2 = 0 + 0,349 703 742 475 468 8;
  • 46) 0,349 703 742 475 468 8 × 2 = 0 + 0,699 407 484 950 937 6;
  • 47) 0,699 407 484 950 937 6 × 2 = 1 + 0,398 814 969 901 875 2;
  • 48) 0,398 814 969 901 875 2 × 2 = 0 + 0,797 629 939 803 750 4;
  • 49) 0,797 629 939 803 750 4 × 2 = 1 + 0,595 259 879 607 500 8;
  • 50) 0,595 259 879 607 500 8 × 2 = 1 + 0,190 519 759 215 001 6;
  • 51) 0,190 519 759 215 001 6 × 2 = 0 + 0,381 039 518 430 003 2;
  • 52) 0,381 039 518 430 003 2 × 2 = 0 + 0,762 079 036 860 006 4;
  • 53) 0,762 079 036 860 006 4 × 2 = 1 + 0,524 158 073 720 012 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 145 321 678 985 9(10) =

0,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0010 1100 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,123 145 321 678 985 9(10) =

11,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0010 1100 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,123 145 321 678 985 9(10) =

11,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0010 1100 1(2) =

11,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0010 1100 1(2) × 20 =

1,1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 0110 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 0110 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 0110 01 =

1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 0110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 0110


Numărul zecimal 3,123 145 321 678 985 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 0110

Distribuie

» Scriere 3,123 145 321 678 980 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100