3,123 145 321 678 989 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,123 145 321 678 989 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,123 145 321 678 989 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,123 145 321 678 989 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,123 145 321 678 989 7 × 2 = 0 + 0,246 290 643 357 979 4;
  • 2) 0,246 290 643 357 979 4 × 2 = 0 + 0,492 581 286 715 958 8;
  • 3) 0,492 581 286 715 958 8 × 2 = 0 + 0,985 162 573 431 917 6;
  • 4) 0,985 162 573 431 917 6 × 2 = 1 + 0,970 325 146 863 835 2;
  • 5) 0,970 325 146 863 835 2 × 2 = 1 + 0,940 650 293 727 670 4;
  • 6) 0,940 650 293 727 670 4 × 2 = 1 + 0,881 300 587 455 340 8;
  • 7) 0,881 300 587 455 340 8 × 2 = 1 + 0,762 601 174 910 681 6;
  • 8) 0,762 601 174 910 681 6 × 2 = 1 + 0,525 202 349 821 363 2;
  • 9) 0,525 202 349 821 363 2 × 2 = 1 + 0,050 404 699 642 726 4;
  • 10) 0,050 404 699 642 726 4 × 2 = 0 + 0,100 809 399 285 452 8;
  • 11) 0,100 809 399 285 452 8 × 2 = 0 + 0,201 618 798 570 905 6;
  • 12) 0,201 618 798 570 905 6 × 2 = 0 + 0,403 237 597 141 811 2;
  • 13) 0,403 237 597 141 811 2 × 2 = 0 + 0,806 475 194 283 622 4;
  • 14) 0,806 475 194 283 622 4 × 2 = 1 + 0,612 950 388 567 244 8;
  • 15) 0,612 950 388 567 244 8 × 2 = 1 + 0,225 900 777 134 489 6;
  • 16) 0,225 900 777 134 489 6 × 2 = 0 + 0,451 801 554 268 979 2;
  • 17) 0,451 801 554 268 979 2 × 2 = 0 + 0,903 603 108 537 958 4;
  • 18) 0,903 603 108 537 958 4 × 2 = 1 + 0,807 206 217 075 916 8;
  • 19) 0,807 206 217 075 916 8 × 2 = 1 + 0,614 412 434 151 833 6;
  • 20) 0,614 412 434 151 833 6 × 2 = 1 + 0,228 824 868 303 667 2;
  • 21) 0,228 824 868 303 667 2 × 2 = 0 + 0,457 649 736 607 334 4;
  • 22) 0,457 649 736 607 334 4 × 2 = 0 + 0,915 299 473 214 668 8;
  • 23) 0,915 299 473 214 668 8 × 2 = 1 + 0,830 598 946 429 337 6;
  • 24) 0,830 598 946 429 337 6 × 2 = 1 + 0,661 197 892 858 675 2;
  • 25) 0,661 197 892 858 675 2 × 2 = 1 + 0,322 395 785 717 350 4;
  • 26) 0,322 395 785 717 350 4 × 2 = 0 + 0,644 791 571 434 700 8;
  • 27) 0,644 791 571 434 700 8 × 2 = 1 + 0,289 583 142 869 401 6;
  • 28) 0,289 583 142 869 401 6 × 2 = 0 + 0,579 166 285 738 803 2;
  • 29) 0,579 166 285 738 803 2 × 2 = 1 + 0,158 332 571 477 606 4;
  • 30) 0,158 332 571 477 606 4 × 2 = 0 + 0,316 665 142 955 212 8;
  • 31) 0,316 665 142 955 212 8 × 2 = 0 + 0,633 330 285 910 425 6;
  • 32) 0,633 330 285 910 425 6 × 2 = 1 + 0,266 660 571 820 851 2;
  • 33) 0,266 660 571 820 851 2 × 2 = 0 + 0,533 321 143 641 702 4;
  • 34) 0,533 321 143 641 702 4 × 2 = 1 + 0,066 642 287 283 404 8;
  • 35) 0,066 642 287 283 404 8 × 2 = 0 + 0,133 284 574 566 809 6;
  • 36) 0,133 284 574 566 809 6 × 2 = 0 + 0,266 569 149 133 619 2;
  • 37) 0,266 569 149 133 619 2 × 2 = 0 + 0,533 138 298 267 238 4;
  • 38) 0,533 138 298 267 238 4 × 2 = 1 + 0,066 276 596 534 476 8;
  • 39) 0,066 276 596 534 476 8 × 2 = 0 + 0,132 553 193 068 953 6;
  • 40) 0,132 553 193 068 953 6 × 2 = 0 + 0,265 106 386 137 907 2;
  • 41) 0,265 106 386 137 907 2 × 2 = 0 + 0,530 212 772 275 814 4;
  • 42) 0,530 212 772 275 814 4 × 2 = 1 + 0,060 425 544 551 628 8;
  • 43) 0,060 425 544 551 628 8 × 2 = 0 + 0,120 851 089 103 257 6;
  • 44) 0,120 851 089 103 257 6 × 2 = 0 + 0,241 702 178 206 515 2;
  • 45) 0,241 702 178 206 515 2 × 2 = 0 + 0,483 404 356 413 030 4;
  • 46) 0,483 404 356 413 030 4 × 2 = 0 + 0,966 808 712 826 060 8;
  • 47) 0,966 808 712 826 060 8 × 2 = 1 + 0,933 617 425 652 121 6;
  • 48) 0,933 617 425 652 121 6 × 2 = 1 + 0,867 234 851 304 243 2;
  • 49) 0,867 234 851 304 243 2 × 2 = 1 + 0,734 469 702 608 486 4;
  • 50) 0,734 469 702 608 486 4 × 2 = 1 + 0,468 939 405 216 972 8;
  • 51) 0,468 939 405 216 972 8 × 2 = 0 + 0,937 878 810 433 945 6;
  • 52) 0,937 878 810 433 945 6 × 2 = 1 + 0,875 757 620 867 891 2;
  • 53) 0,875 757 620 867 891 2 × 2 = 1 + 0,751 515 241 735 782 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,123 145 321 678 989 7(10) =

0,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0011 1101 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,123 145 321 678 989 7(10) =

11,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0011 1101 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,123 145 321 678 989 7(10) =

11,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0011 1101 1(2) =

11,0001 1111 1000 0110 0111 0011 1010 1001 0100 0100 0100 0011 1101 1(2) × 20 =

1,1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 1110 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 1110 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 1110 11 =

1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 1110


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 1110


Numărul zecimal 3,123 145 321 678 989 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1000 1111 1100 0011 0011 1001 1101 0100 1010 0010 0010 0001 1110

» Scriere 3,123 145 321 678 998 4 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100