3,141 592 653 589 793 115 997 931 7 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 115 997 931 7(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 115 997 931 7(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 115 997 931 7.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 115 997 931 7 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 231 995 863 4;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 231 995 863 4 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 463 991 726 8;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 463 991 726 8 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 344 927 983 453 6;
  • 4) 0,132 741 228 718 344 927 983 453 6 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 689 855 966 907 2;
  • 5) 0,265 482 457 436 689 855 966 907 2 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 379 711 933 814 4;
  • 6) 0,530 964 914 873 379 711 933 814 4 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 759 423 867 628 8;
  • 7) 0,061 929 829 746 759 423 867 628 8 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 518 847 735 257 6;
  • 8) 0,123 859 659 493 518 847 735 257 6 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 037 695 470 515 2;
  • 9) 0,247 719 318 987 037 695 470 515 2 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 075 390 941 030 4;
  • 10) 0,495 438 637 974 075 390 941 030 4 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 150 781 882 060 8;
  • 11) 0,990 877 275 948 150 781 882 060 8 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 301 563 764 121 6;
  • 12) 0,981 754 551 896 301 563 764 121 6 × 2 = 1 + 0,963 509 103 792 603 127 528 243 2;
  • 13) 0,963 509 103 792 603 127 528 243 2 × 2 = 1 + 0,927 018 207 585 206 255 056 486 4;
  • 14) 0,927 018 207 585 206 255 056 486 4 × 2 = 1 + 0,854 036 415 170 412 510 112 972 8;
  • 15) 0,854 036 415 170 412 510 112 972 8 × 2 = 1 + 0,708 072 830 340 825 020 225 945 6;
  • 16) 0,708 072 830 340 825 020 225 945 6 × 2 = 1 + 0,416 145 660 681 650 040 451 891 2;
  • 17) 0,416 145 660 681 650 040 451 891 2 × 2 = 0 + 0,832 291 321 363 300 080 903 782 4;
  • 18) 0,832 291 321 363 300 080 903 782 4 × 2 = 1 + 0,664 582 642 726 600 161 807 564 8;
  • 19) 0,664 582 642 726 600 161 807 564 8 × 2 = 1 + 0,329 165 285 453 200 323 615 129 6;
  • 20) 0,329 165 285 453 200 323 615 129 6 × 2 = 0 + 0,658 330 570 906 400 647 230 259 2;
  • 21) 0,658 330 570 906 400 647 230 259 2 × 2 = 1 + 0,316 661 141 812 801 294 460 518 4;
  • 22) 0,316 661 141 812 801 294 460 518 4 × 2 = 0 + 0,633 322 283 625 602 588 921 036 8;
  • 23) 0,633 322 283 625 602 588 921 036 8 × 2 = 1 + 0,266 644 567 251 205 177 842 073 6;
  • 24) 0,266 644 567 251 205 177 842 073 6 × 2 = 0 + 0,533 289 134 502 410 355 684 147 2;
  • 25) 0,533 289 134 502 410 355 684 147 2 × 2 = 1 + 0,066 578 269 004 820 711 368 294 4;
  • 26) 0,066 578 269 004 820 711 368 294 4 × 2 = 0 + 0,133 156 538 009 641 422 736 588 8;
  • 27) 0,133 156 538 009 641 422 736 588 8 × 2 = 0 + 0,266 313 076 019 282 845 473 177 6;
  • 28) 0,266 313 076 019 282 845 473 177 6 × 2 = 0 + 0,532 626 152 038 565 690 946 355 2;
  • 29) 0,532 626 152 038 565 690 946 355 2 × 2 = 1 + 0,065 252 304 077 131 381 892 710 4;
  • 30) 0,065 252 304 077 131 381 892 710 4 × 2 = 0 + 0,130 504 608 154 262 763 785 420 8;
  • 31) 0,130 504 608 154 262 763 785 420 8 × 2 = 0 + 0,261 009 216 308 525 527 570 841 6;
  • 32) 0,261 009 216 308 525 527 570 841 6 × 2 = 0 + 0,522 018 432 617 051 055 141 683 2;
  • 33) 0,522 018 432 617 051 055 141 683 2 × 2 = 1 + 0,044 036 865 234 102 110 283 366 4;
  • 34) 0,044 036 865 234 102 110 283 366 4 × 2 = 0 + 0,088 073 730 468 204 220 566 732 8;
  • 35) 0,088 073 730 468 204 220 566 732 8 × 2 = 0 + 0,176 147 460 936 408 441 133 465 6;
  • 36) 0,176 147 460 936 408 441 133 465 6 × 2 = 0 + 0,352 294 921 872 816 882 266 931 2;
  • 37) 0,352 294 921 872 816 882 266 931 2 × 2 = 0 + 0,704 589 843 745 633 764 533 862 4;
  • 38) 0,704 589 843 745 633 764 533 862 4 × 2 = 1 + 0,409 179 687 491 267 529 067 724 8;
  • 39) 0,409 179 687 491 267 529 067 724 8 × 2 = 0 + 0,818 359 374 982 535 058 135 449 6;
  • 40) 0,818 359 374 982 535 058 135 449 6 × 2 = 1 + 0,636 718 749 965 070 116 270 899 2;
  • 41) 0,636 718 749 965 070 116 270 899 2 × 2 = 1 + 0,273 437 499 930 140 232 541 798 4;
  • 42) 0,273 437 499 930 140 232 541 798 4 × 2 = 0 + 0,546 874 999 860 280 465 083 596 8;
  • 43) 0,546 874 999 860 280 465 083 596 8 × 2 = 1 + 0,093 749 999 720 560 930 167 193 6;
  • 44) 0,093 749 999 720 560 930 167 193 6 × 2 = 0 + 0,187 499 999 441 121 860 334 387 2;
  • 45) 0,187 499 999 441 121 860 334 387 2 × 2 = 0 + 0,374 999 998 882 243 720 668 774 4;
  • 46) 0,374 999 998 882 243 720 668 774 4 × 2 = 0 + 0,749 999 997 764 487 441 337 548 8;
  • 47) 0,749 999 997 764 487 441 337 548 8 × 2 = 1 + 0,499 999 995 528 974 882 675 097 6;
  • 48) 0,499 999 995 528 974 882 675 097 6 × 2 = 0 + 0,999 999 991 057 949 765 350 195 2;
  • 49) 0,999 999 991 057 949 765 350 195 2 × 2 = 1 + 0,999 999 982 115 899 530 700 390 4;
  • 50) 0,999 999 982 115 899 530 700 390 4 × 2 = 1 + 0,999 999 964 231 799 061 400 780 8;
  • 51) 0,999 999 964 231 799 061 400 780 8 × 2 = 1 + 0,999 999 928 463 598 122 801 561 6;
  • 52) 0,999 999 928 463 598 122 801 561 6 × 2 = 1 + 0,999 999 856 927 196 245 603 123 2;
  • 53) 0,999 999 856 927 196 245 603 123 2 × 2 = 1 + 0,999 999 713 854 392 491 206 246 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 115 997 931 7(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 115 997 931 7(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 115 997 931 7(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0010 1111 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111 11(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111 11


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111 11 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 115 997 931 7 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 0111

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 589 793 115 997 940 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100