3,141 592 653 589 793 115 997 965 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 115 997 965 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 115 997 965 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 115 997 965 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 115 997 965 3 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 231 995 930 6;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 231 995 930 6 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 463 991 861 2;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 463 991 861 2 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 344 927 983 722 4;
  • 4) 0,132 741 228 718 344 927 983 722 4 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 689 855 967 444 8;
  • 5) 0,265 482 457 436 689 855 967 444 8 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 379 711 934 889 6;
  • 6) 0,530 964 914 873 379 711 934 889 6 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 759 423 869 779 2;
  • 7) 0,061 929 829 746 759 423 869 779 2 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 518 847 739 558 4;
  • 8) 0,123 859 659 493 518 847 739 558 4 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 037 695 479 116 8;
  • 9) 0,247 719 318 987 037 695 479 116 8 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 075 390 958 233 6;
  • 10) 0,495 438 637 974 075 390 958 233 6 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 150 781 916 467 2;
  • 11) 0,990 877 275 948 150 781 916 467 2 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 301 563 832 934 4;
  • 12) 0,981 754 551 896 301 563 832 934 4 × 2 = 1 + 0,963 509 103 792 603 127 665 868 8;
  • 13) 0,963 509 103 792 603 127 665 868 8 × 2 = 1 + 0,927 018 207 585 206 255 331 737 6;
  • 14) 0,927 018 207 585 206 255 331 737 6 × 2 = 1 + 0,854 036 415 170 412 510 663 475 2;
  • 15) 0,854 036 415 170 412 510 663 475 2 × 2 = 1 + 0,708 072 830 340 825 021 326 950 4;
  • 16) 0,708 072 830 340 825 021 326 950 4 × 2 = 1 + 0,416 145 660 681 650 042 653 900 8;
  • 17) 0,416 145 660 681 650 042 653 900 8 × 2 = 0 + 0,832 291 321 363 300 085 307 801 6;
  • 18) 0,832 291 321 363 300 085 307 801 6 × 2 = 1 + 0,664 582 642 726 600 170 615 603 2;
  • 19) 0,664 582 642 726 600 170 615 603 2 × 2 = 1 + 0,329 165 285 453 200 341 231 206 4;
  • 20) 0,329 165 285 453 200 341 231 206 4 × 2 = 0 + 0,658 330 570 906 400 682 462 412 8;
  • 21) 0,658 330 570 906 400 682 462 412 8 × 2 = 1 + 0,316 661 141 812 801 364 924 825 6;
  • 22) 0,316 661 141 812 801 364 924 825 6 × 2 = 0 + 0,633 322 283 625 602 729 849 651 2;
  • 23) 0,633 322 283 625 602 729 849 651 2 × 2 = 1 + 0,266 644 567 251 205 459 699 302 4;
  • 24) 0,266 644 567 251 205 459 699 302 4 × 2 = 0 + 0,533 289 134 502 410 919 398 604 8;
  • 25) 0,533 289 134 502 410 919 398 604 8 × 2 = 1 + 0,066 578 269 004 821 838 797 209 6;
  • 26) 0,066 578 269 004 821 838 797 209 6 × 2 = 0 + 0,133 156 538 009 643 677 594 419 2;
  • 27) 0,133 156 538 009 643 677 594 419 2 × 2 = 0 + 0,266 313 076 019 287 355 188 838 4;
  • 28) 0,266 313 076 019 287 355 188 838 4 × 2 = 0 + 0,532 626 152 038 574 710 377 676 8;
  • 29) 0,532 626 152 038 574 710 377 676 8 × 2 = 1 + 0,065 252 304 077 149 420 755 353 6;
  • 30) 0,065 252 304 077 149 420 755 353 6 × 2 = 0 + 0,130 504 608 154 298 841 510 707 2;
  • 31) 0,130 504 608 154 298 841 510 707 2 × 2 = 0 + 0,261 009 216 308 597 683 021 414 4;
  • 32) 0,261 009 216 308 597 683 021 414 4 × 2 = 0 + 0,522 018 432 617 195 366 042 828 8;
  • 33) 0,522 018 432 617 195 366 042 828 8 × 2 = 1 + 0,044 036 865 234 390 732 085 657 6;
  • 34) 0,044 036 865 234 390 732 085 657 6 × 2 = 0 + 0,088 073 730 468 781 464 171 315 2;
  • 35) 0,088 073 730 468 781 464 171 315 2 × 2 = 0 + 0,176 147 460 937 562 928 342 630 4;
  • 36) 0,176 147 460 937 562 928 342 630 4 × 2 = 0 + 0,352 294 921 875 125 856 685 260 8;
  • 37) 0,352 294 921 875 125 856 685 260 8 × 2 = 0 + 0,704 589 843 750 251 713 370 521 6;
  • 38) 0,704 589 843 750 251 713 370 521 6 × 2 = 1 + 0,409 179 687 500 503 426 741 043 2;
  • 39) 0,409 179 687 500 503 426 741 043 2 × 2 = 0 + 0,818 359 375 001 006 853 482 086 4;
  • 40) 0,818 359 375 001 006 853 482 086 4 × 2 = 1 + 0,636 718 750 002 013 706 964 172 8;
  • 41) 0,636 718 750 002 013 706 964 172 8 × 2 = 1 + 0,273 437 500 004 027 413 928 345 6;
  • 42) 0,273 437 500 004 027 413 928 345 6 × 2 = 0 + 0,546 875 000 008 054 827 856 691 2;
  • 43) 0,546 875 000 008 054 827 856 691 2 × 2 = 1 + 0,093 750 000 016 109 655 713 382 4;
  • 44) 0,093 750 000 016 109 655 713 382 4 × 2 = 0 + 0,187 500 000 032 219 311 426 764 8;
  • 45) 0,187 500 000 032 219 311 426 764 8 × 2 = 0 + 0,375 000 000 064 438 622 853 529 6;
  • 46) 0,375 000 000 064 438 622 853 529 6 × 2 = 0 + 0,750 000 000 128 877 245 707 059 2;
  • 47) 0,750 000 000 128 877 245 707 059 2 × 2 = 1 + 0,500 000 000 257 754 491 414 118 4;
  • 48) 0,500 000 000 257 754 491 414 118 4 × 2 = 1 + 0,000 000 000 515 508 982 828 236 8;
  • 49) 0,000 000 000 515 508 982 828 236 8 × 2 = 0 + 0,000 000 001 031 017 965 656 473 6;
  • 50) 0,000 000 001 031 017 965 656 473 6 × 2 = 0 + 0,000 000 002 062 035 931 312 947 2;
  • 51) 0,000 000 002 062 035 931 312 947 2 × 2 = 0 + 0,000 000 004 124 071 862 625 894 4;
  • 52) 0,000 000 004 124 071 862 625 894 4 × 2 = 0 + 0,000 000 008 248 143 725 251 788 8;
  • 53) 0,000 000 008 248 143 725 251 788 8 × 2 = 0 + 0,000 000 016 496 287 450 503 577 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 115 997 965 3(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 115 997 965 3(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 115 997 965 3(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 115 997 965 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 589 793 115 997 962 8 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100