3,141 592 653 589 793 116 002 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 116 002 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 116 002 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 116 002 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 116 002 9 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 232 005 8;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 232 005 8 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 464 011 6;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 464 011 6 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 344 928 023 2;
  • 4) 0,132 741 228 718 344 928 023 2 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 689 856 046 4;
  • 5) 0,265 482 457 436 689 856 046 4 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 379 712 092 8;
  • 6) 0,530 964 914 873 379 712 092 8 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 759 424 185 6;
  • 7) 0,061 929 829 746 759 424 185 6 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 518 848 371 2;
  • 8) 0,123 859 659 493 518 848 371 2 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 037 696 742 4;
  • 9) 0,247 719 318 987 037 696 742 4 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 075 393 484 8;
  • 10) 0,495 438 637 974 075 393 484 8 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 150 786 969 6;
  • 11) 0,990 877 275 948 150 786 969 6 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 301 573 939 2;
  • 12) 0,981 754 551 896 301 573 939 2 × 2 = 1 + 0,963 509 103 792 603 147 878 4;
  • 13) 0,963 509 103 792 603 147 878 4 × 2 = 1 + 0,927 018 207 585 206 295 756 8;
  • 14) 0,927 018 207 585 206 295 756 8 × 2 = 1 + 0,854 036 415 170 412 591 513 6;
  • 15) 0,854 036 415 170 412 591 513 6 × 2 = 1 + 0,708 072 830 340 825 183 027 2;
  • 16) 0,708 072 830 340 825 183 027 2 × 2 = 1 + 0,416 145 660 681 650 366 054 4;
  • 17) 0,416 145 660 681 650 366 054 4 × 2 = 0 + 0,832 291 321 363 300 732 108 8;
  • 18) 0,832 291 321 363 300 732 108 8 × 2 = 1 + 0,664 582 642 726 601 464 217 6;
  • 19) 0,664 582 642 726 601 464 217 6 × 2 = 1 + 0,329 165 285 453 202 928 435 2;
  • 20) 0,329 165 285 453 202 928 435 2 × 2 = 0 + 0,658 330 570 906 405 856 870 4;
  • 21) 0,658 330 570 906 405 856 870 4 × 2 = 1 + 0,316 661 141 812 811 713 740 8;
  • 22) 0,316 661 141 812 811 713 740 8 × 2 = 0 + 0,633 322 283 625 623 427 481 6;
  • 23) 0,633 322 283 625 623 427 481 6 × 2 = 1 + 0,266 644 567 251 246 854 963 2;
  • 24) 0,266 644 567 251 246 854 963 2 × 2 = 0 + 0,533 289 134 502 493 709 926 4;
  • 25) 0,533 289 134 502 493 709 926 4 × 2 = 1 + 0,066 578 269 004 987 419 852 8;
  • 26) 0,066 578 269 004 987 419 852 8 × 2 = 0 + 0,133 156 538 009 974 839 705 6;
  • 27) 0,133 156 538 009 974 839 705 6 × 2 = 0 + 0,266 313 076 019 949 679 411 2;
  • 28) 0,266 313 076 019 949 679 411 2 × 2 = 0 + 0,532 626 152 039 899 358 822 4;
  • 29) 0,532 626 152 039 899 358 822 4 × 2 = 1 + 0,065 252 304 079 798 717 644 8;
  • 30) 0,065 252 304 079 798 717 644 8 × 2 = 0 + 0,130 504 608 159 597 435 289 6;
  • 31) 0,130 504 608 159 597 435 289 6 × 2 = 0 + 0,261 009 216 319 194 870 579 2;
  • 32) 0,261 009 216 319 194 870 579 2 × 2 = 0 + 0,522 018 432 638 389 741 158 4;
  • 33) 0,522 018 432 638 389 741 158 4 × 2 = 1 + 0,044 036 865 276 779 482 316 8;
  • 34) 0,044 036 865 276 779 482 316 8 × 2 = 0 + 0,088 073 730 553 558 964 633 6;
  • 35) 0,088 073 730 553 558 964 633 6 × 2 = 0 + 0,176 147 461 107 117 929 267 2;
  • 36) 0,176 147 461 107 117 929 267 2 × 2 = 0 + 0,352 294 922 214 235 858 534 4;
  • 37) 0,352 294 922 214 235 858 534 4 × 2 = 0 + 0,704 589 844 428 471 717 068 8;
  • 38) 0,704 589 844 428 471 717 068 8 × 2 = 1 + 0,409 179 688 856 943 434 137 6;
  • 39) 0,409 179 688 856 943 434 137 6 × 2 = 0 + 0,818 359 377 713 886 868 275 2;
  • 40) 0,818 359 377 713 886 868 275 2 × 2 = 1 + 0,636 718 755 427 773 736 550 4;
  • 41) 0,636 718 755 427 773 736 550 4 × 2 = 1 + 0,273 437 510 855 547 473 100 8;
  • 42) 0,273 437 510 855 547 473 100 8 × 2 = 0 + 0,546 875 021 711 094 946 201 6;
  • 43) 0,546 875 021 711 094 946 201 6 × 2 = 1 + 0,093 750 043 422 189 892 403 2;
  • 44) 0,093 750 043 422 189 892 403 2 × 2 = 0 + 0,187 500 086 844 379 784 806 4;
  • 45) 0,187 500 086 844 379 784 806 4 × 2 = 0 + 0,375 000 173 688 759 569 612 8;
  • 46) 0,375 000 173 688 759 569 612 8 × 2 = 0 + 0,750 000 347 377 519 139 225 6;
  • 47) 0,750 000 347 377 519 139 225 6 × 2 = 1 + 0,500 000 694 755 038 278 451 2;
  • 48) 0,500 000 694 755 038 278 451 2 × 2 = 1 + 0,000 001 389 510 076 556 902 4;
  • 49) 0,000 001 389 510 076 556 902 4 × 2 = 0 + 0,000 002 779 020 153 113 804 8;
  • 50) 0,000 002 779 020 153 113 804 8 × 2 = 0 + 0,000 005 558 040 306 227 609 6;
  • 51) 0,000 005 558 040 306 227 609 6 × 2 = 0 + 0,000 011 116 080 612 455 219 2;
  • 52) 0,000 011 116 080 612 455 219 2 × 2 = 0 + 0,000 022 232 161 224 910 438 4;
  • 53) 0,000 022 232 161 224 910 438 4 × 2 = 0 + 0,000 044 464 322 449 820 876 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 116 002 9(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 116 002 9(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 116 002 9(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 0(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 00 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 116 002 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

» Scriere 3,141 592 653 589 793 116 009 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100