3,141 592 653 589 793 238 462 109 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 238 462 109(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 238 462 109(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 238 462 109.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 238 462 109 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 476 924 218;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 476 924 218 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 953 848 436;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 953 848 436 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 345 907 696 872;
  • 4) 0,132 741 228 718 345 907 696 872 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 691 815 393 744;
  • 5) 0,265 482 457 436 691 815 393 744 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 383 630 787 488;
  • 6) 0,530 964 914 873 383 630 787 488 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 767 261 574 976;
  • 7) 0,061 929 829 746 767 261 574 976 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 534 523 149 952;
  • 8) 0,123 859 659 493 534 523 149 952 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 069 046 299 904;
  • 9) 0,247 719 318 987 069 046 299 904 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 138 092 599 808;
  • 10) 0,495 438 637 974 138 092 599 808 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 276 185 199 616;
  • 11) 0,990 877 275 948 276 185 199 616 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 552 370 399 232;
  • 12) 0,981 754 551 896 552 370 399 232 × 2 = 1 + 0,963 509 103 793 104 740 798 464;
  • 13) 0,963 509 103 793 104 740 798 464 × 2 = 1 + 0,927 018 207 586 209 481 596 928;
  • 14) 0,927 018 207 586 209 481 596 928 × 2 = 1 + 0,854 036 415 172 418 963 193 856;
  • 15) 0,854 036 415 172 418 963 193 856 × 2 = 1 + 0,708 072 830 344 837 926 387 712;
  • 16) 0,708 072 830 344 837 926 387 712 × 2 = 1 + 0,416 145 660 689 675 852 775 424;
  • 17) 0,416 145 660 689 675 852 775 424 × 2 = 0 + 0,832 291 321 379 351 705 550 848;
  • 18) 0,832 291 321 379 351 705 550 848 × 2 = 1 + 0,664 582 642 758 703 411 101 696;
  • 19) 0,664 582 642 758 703 411 101 696 × 2 = 1 + 0,329 165 285 517 406 822 203 392;
  • 20) 0,329 165 285 517 406 822 203 392 × 2 = 0 + 0,658 330 571 034 813 644 406 784;
  • 21) 0,658 330 571 034 813 644 406 784 × 2 = 1 + 0,316 661 142 069 627 288 813 568;
  • 22) 0,316 661 142 069 627 288 813 568 × 2 = 0 + 0,633 322 284 139 254 577 627 136;
  • 23) 0,633 322 284 139 254 577 627 136 × 2 = 1 + 0,266 644 568 278 509 155 254 272;
  • 24) 0,266 644 568 278 509 155 254 272 × 2 = 0 + 0,533 289 136 557 018 310 508 544;
  • 25) 0,533 289 136 557 018 310 508 544 × 2 = 1 + 0,066 578 273 114 036 621 017 088;
  • 26) 0,066 578 273 114 036 621 017 088 × 2 = 0 + 0,133 156 546 228 073 242 034 176;
  • 27) 0,133 156 546 228 073 242 034 176 × 2 = 0 + 0,266 313 092 456 146 484 068 352;
  • 28) 0,266 313 092 456 146 484 068 352 × 2 = 0 + 0,532 626 184 912 292 968 136 704;
  • 29) 0,532 626 184 912 292 968 136 704 × 2 = 1 + 0,065 252 369 824 585 936 273 408;
  • 30) 0,065 252 369 824 585 936 273 408 × 2 = 0 + 0,130 504 739 649 171 872 546 816;
  • 31) 0,130 504 739 649 171 872 546 816 × 2 = 0 + 0,261 009 479 298 343 745 093 632;
  • 32) 0,261 009 479 298 343 745 093 632 × 2 = 0 + 0,522 018 958 596 687 490 187 264;
  • 33) 0,522 018 958 596 687 490 187 264 × 2 = 1 + 0,044 037 917 193 374 980 374 528;
  • 34) 0,044 037 917 193 374 980 374 528 × 2 = 0 + 0,088 075 834 386 749 960 749 056;
  • 35) 0,088 075 834 386 749 960 749 056 × 2 = 0 + 0,176 151 668 773 499 921 498 112;
  • 36) 0,176 151 668 773 499 921 498 112 × 2 = 0 + 0,352 303 337 546 999 842 996 224;
  • 37) 0,352 303 337 546 999 842 996 224 × 2 = 0 + 0,704 606 675 093 999 685 992 448;
  • 38) 0,704 606 675 093 999 685 992 448 × 2 = 1 + 0,409 213 350 187 999 371 984 896;
  • 39) 0,409 213 350 187 999 371 984 896 × 2 = 0 + 0,818 426 700 375 998 743 969 792;
  • 40) 0,818 426 700 375 998 743 969 792 × 2 = 1 + 0,636 853 400 751 997 487 939 584;
  • 41) 0,636 853 400 751 997 487 939 584 × 2 = 1 + 0,273 706 801 503 994 975 879 168;
  • 42) 0,273 706 801 503 994 975 879 168 × 2 = 0 + 0,547 413 603 007 989 951 758 336;
  • 43) 0,547 413 603 007 989 951 758 336 × 2 = 1 + 0,094 827 206 015 979 903 516 672;
  • 44) 0,094 827 206 015 979 903 516 672 × 2 = 0 + 0,189 654 412 031 959 807 033 344;
  • 45) 0,189 654 412 031 959 807 033 344 × 2 = 0 + 0,379 308 824 063 919 614 066 688;
  • 46) 0,379 308 824 063 919 614 066 688 × 2 = 0 + 0,758 617 648 127 839 228 133 376;
  • 47) 0,758 617 648 127 839 228 133 376 × 2 = 1 + 0,517 235 296 255 678 456 266 752;
  • 48) 0,517 235 296 255 678 456 266 752 × 2 = 1 + 0,034 470 592 511 356 912 533 504;
  • 49) 0,034 470 592 511 356 912 533 504 × 2 = 0 + 0,068 941 185 022 713 825 067 008;
  • 50) 0,068 941 185 022 713 825 067 008 × 2 = 0 + 0,137 882 370 045 427 650 134 016;
  • 51) 0,137 882 370 045 427 650 134 016 × 2 = 0 + 0,275 764 740 090 855 300 268 032;
  • 52) 0,275 764 740 090 855 300 268 032 × 2 = 0 + 0,551 529 480 181 710 600 536 064;
  • 53) 0,551 529 480 181 710 600 536 064 × 2 = 1 + 0,103 058 960 363 421 201 072 128;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 238 462 109(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 238 462 109(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 238 462 109(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 238 462 109 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 589 793 238 462 118 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100