3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 3.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

2. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

3(10) =

11(2)


3. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459 × 2 = 0 + 0,283 185 307 179 586 476 925 286 766 559 005 768 394 338 798 750 211 641 949 889 184 615 632 812 572 417 997 256 069 650 918;
  • 2) 0,283 185 307 179 586 476 925 286 766 559 005 768 394 338 798 750 211 641 949 889 184 615 632 812 572 417 997 256 069 650 918 × 2 = 0 + 0,566 370 614 359 172 953 850 573 533 118 011 536 788 677 597 500 423 283 899 778 369 231 265 625 144 835 994 512 139 301 836;
  • 3) 0,566 370 614 359 172 953 850 573 533 118 011 536 788 677 597 500 423 283 899 778 369 231 265 625 144 835 994 512 139 301 836 × 2 = 1 + 0,132 741 228 718 345 907 701 147 066 236 023 073 577 355 195 000 846 567 799 556 738 462 531 250 289 671 989 024 278 603 672;
  • 4) 0,132 741 228 718 345 907 701 147 066 236 023 073 577 355 195 000 846 567 799 556 738 462 531 250 289 671 989 024 278 603 672 × 2 = 0 + 0,265 482 457 436 691 815 402 294 132 472 046 147 154 710 390 001 693 135 599 113 476 925 062 500 579 343 978 048 557 207 344;
  • 5) 0,265 482 457 436 691 815 402 294 132 472 046 147 154 710 390 001 693 135 599 113 476 925 062 500 579 343 978 048 557 207 344 × 2 = 0 + 0,530 964 914 873 383 630 804 588 264 944 092 294 309 420 780 003 386 271 198 226 953 850 125 001 158 687 956 097 114 414 688;
  • 6) 0,530 964 914 873 383 630 804 588 264 944 092 294 309 420 780 003 386 271 198 226 953 850 125 001 158 687 956 097 114 414 688 × 2 = 1 + 0,061 929 829 746 767 261 609 176 529 888 184 588 618 841 560 006 772 542 396 453 907 700 250 002 317 375 912 194 228 829 376;
  • 7) 0,061 929 829 746 767 261 609 176 529 888 184 588 618 841 560 006 772 542 396 453 907 700 250 002 317 375 912 194 228 829 376 × 2 = 0 + 0,123 859 659 493 534 523 218 353 059 776 369 177 237 683 120 013 545 084 792 907 815 400 500 004 634 751 824 388 457 658 752;
  • 8) 0,123 859 659 493 534 523 218 353 059 776 369 177 237 683 120 013 545 084 792 907 815 400 500 004 634 751 824 388 457 658 752 × 2 = 0 + 0,247 719 318 987 069 046 436 706 119 552 738 354 475 366 240 027 090 169 585 815 630 801 000 009 269 503 648 776 915 317 504;
  • 9) 0,247 719 318 987 069 046 436 706 119 552 738 354 475 366 240 027 090 169 585 815 630 801 000 009 269 503 648 776 915 317 504 × 2 = 0 + 0,495 438 637 974 138 092 873 412 239 105 476 708 950 732 480 054 180 339 171 631 261 602 000 018 539 007 297 553 830 635 008;
  • 10) 0,495 438 637 974 138 092 873 412 239 105 476 708 950 732 480 054 180 339 171 631 261 602 000 018 539 007 297 553 830 635 008 × 2 = 0 + 0,990 877 275 948 276 185 746 824 478 210 953 417 901 464 960 108 360 678 343 262 523 204 000 037 078 014 595 107 661 270 016;
  • 11) 0,990 877 275 948 276 185 746 824 478 210 953 417 901 464 960 108 360 678 343 262 523 204 000 037 078 014 595 107 661 270 016 × 2 = 1 + 0,981 754 551 896 552 371 493 648 956 421 906 835 802 929 920 216 721 356 686 525 046 408 000 074 156 029 190 215 322 540 032;
  • 12) 0,981 754 551 896 552 371 493 648 956 421 906 835 802 929 920 216 721 356 686 525 046 408 000 074 156 029 190 215 322 540 032 × 2 = 1 + 0,963 509 103 793 104 742 987 297 912 843 813 671 605 859 840 433 442 713 373 050 092 816 000 148 312 058 380 430 645 080 064;
  • 13) 0,963 509 103 793 104 742 987 297 912 843 813 671 605 859 840 433 442 713 373 050 092 816 000 148 312 058 380 430 645 080 064 × 2 = 1 + 0,927 018 207 586 209 485 974 595 825 687 627 343 211 719 680 866 885 426 746 100 185 632 000 296 624 116 760 861 290 160 128;
  • 14) 0,927 018 207 586 209 485 974 595 825 687 627 343 211 719 680 866 885 426 746 100 185 632 000 296 624 116 760 861 290 160 128 × 2 = 1 + 0,854 036 415 172 418 971 949 191 651 375 254 686 423 439 361 733 770 853 492 200 371 264 000 593 248 233 521 722 580 320 256;
  • 15) 0,854 036 415 172 418 971 949 191 651 375 254 686 423 439 361 733 770 853 492 200 371 264 000 593 248 233 521 722 580 320 256 × 2 = 1 + 0,708 072 830 344 837 943 898 383 302 750 509 372 846 878 723 467 541 706 984 400 742 528 001 186 496 467 043 445 160 640 512;
  • 16) 0,708 072 830 344 837 943 898 383 302 750 509 372 846 878 723 467 541 706 984 400 742 528 001 186 496 467 043 445 160 640 512 × 2 = 1 + 0,416 145 660 689 675 887 796 766 605 501 018 745 693 757 446 935 083 413 968 801 485 056 002 372 992 934 086 890 321 281 024;
  • 17) 0,416 145 660 689 675 887 796 766 605 501 018 745 693 757 446 935 083 413 968 801 485 056 002 372 992 934 086 890 321 281 024 × 2 = 0 + 0,832 291 321 379 351 775 593 533 211 002 037 491 387 514 893 870 166 827 937 602 970 112 004 745 985 868 173 780 642 562 048;
  • 18) 0,832 291 321 379 351 775 593 533 211 002 037 491 387 514 893 870 166 827 937 602 970 112 004 745 985 868 173 780 642 562 048 × 2 = 1 + 0,664 582 642 758 703 551 187 066 422 004 074 982 775 029 787 740 333 655 875 205 940 224 009 491 971 736 347 561 285 124 096;
  • 19) 0,664 582 642 758 703 551 187 066 422 004 074 982 775 029 787 740 333 655 875 205 940 224 009 491 971 736 347 561 285 124 096 × 2 = 1 + 0,329 165 285 517 407 102 374 132 844 008 149 965 550 059 575 480 667 311 750 411 880 448 018 983 943 472 695 122 570 248 192;
  • 20) 0,329 165 285 517 407 102 374 132 844 008 149 965 550 059 575 480 667 311 750 411 880 448 018 983 943 472 695 122 570 248 192 × 2 = 0 + 0,658 330 571 034 814 204 748 265 688 016 299 931 100 119 150 961 334 623 500 823 760 896 037 967 886 945 390 245 140 496 384;
  • 21) 0,658 330 571 034 814 204 748 265 688 016 299 931 100 119 150 961 334 623 500 823 760 896 037 967 886 945 390 245 140 496 384 × 2 = 1 + 0,316 661 142 069 628 409 496 531 376 032 599 862 200 238 301 922 669 247 001 647 521 792 075 935 773 890 780 490 280 992 768;
  • 22) 0,316 661 142 069 628 409 496 531 376 032 599 862 200 238 301 922 669 247 001 647 521 792 075 935 773 890 780 490 280 992 768 × 2 = 0 + 0,633 322 284 139 256 818 993 062 752 065 199 724 400 476 603 845 338 494 003 295 043 584 151 871 547 781 560 980 561 985 536;
  • 23) 0,633 322 284 139 256 818 993 062 752 065 199 724 400 476 603 845 338 494 003 295 043 584 151 871 547 781 560 980 561 985 536 × 2 = 1 + 0,266 644 568 278 513 637 986 125 504 130 399 448 800 953 207 690 676 988 006 590 087 168 303 743 095 563 121 961 123 971 072;
  • 24) 0,266 644 568 278 513 637 986 125 504 130 399 448 800 953 207 690 676 988 006 590 087 168 303 743 095 563 121 961 123 971 072 × 2 = 0 + 0,533 289 136 557 027 275 972 251 008 260 798 897 601 906 415 381 353 976 013 180 174 336 607 486 191 126 243 922 247 942 144;
  • 25) 0,533 289 136 557 027 275 972 251 008 260 798 897 601 906 415 381 353 976 013 180 174 336 607 486 191 126 243 922 247 942 144 × 2 = 1 + 0,066 578 273 114 054 551 944 502 016 521 597 795 203 812 830 762 707 952 026 360 348 673 214 972 382 252 487 844 495 884 288;
  • 26) 0,066 578 273 114 054 551 944 502 016 521 597 795 203 812 830 762 707 952 026 360 348 673 214 972 382 252 487 844 495 884 288 × 2 = 0 + 0,133 156 546 228 109 103 889 004 033 043 195 590 407 625 661 525 415 904 052 720 697 346 429 944 764 504 975 688 991 768 576;
  • 27) 0,133 156 546 228 109 103 889 004 033 043 195 590 407 625 661 525 415 904 052 720 697 346 429 944 764 504 975 688 991 768 576 × 2 = 0 + 0,266 313 092 456 218 207 778 008 066 086 391 180 815 251 323 050 831 808 105 441 394 692 859 889 529 009 951 377 983 537 152;
  • 28) 0,266 313 092 456 218 207 778 008 066 086 391 180 815 251 323 050 831 808 105 441 394 692 859 889 529 009 951 377 983 537 152 × 2 = 0 + 0,532 626 184 912 436 415 556 016 132 172 782 361 630 502 646 101 663 616 210 882 789 385 719 779 058 019 902 755 967 074 304;
  • 29) 0,532 626 184 912 436 415 556 016 132 172 782 361 630 502 646 101 663 616 210 882 789 385 719 779 058 019 902 755 967 074 304 × 2 = 1 + 0,065 252 369 824 872 831 112 032 264 345 564 723 261 005 292 203 327 232 421 765 578 771 439 558 116 039 805 511 934 148 608;
  • 30) 0,065 252 369 824 872 831 112 032 264 345 564 723 261 005 292 203 327 232 421 765 578 771 439 558 116 039 805 511 934 148 608 × 2 = 0 + 0,130 504 739 649 745 662 224 064 528 691 129 446 522 010 584 406 654 464 843 531 157 542 879 116 232 079 611 023 868 297 216;
  • 31) 0,130 504 739 649 745 662 224 064 528 691 129 446 522 010 584 406 654 464 843 531 157 542 879 116 232 079 611 023 868 297 216 × 2 = 0 + 0,261 009 479 299 491 324 448 129 057 382 258 893 044 021 168 813 308 929 687 062 315 085 758 232 464 159 222 047 736 594 432;
  • 32) 0,261 009 479 299 491 324 448 129 057 382 258 893 044 021 168 813 308 929 687 062 315 085 758 232 464 159 222 047 736 594 432 × 2 = 0 + 0,522 018 958 598 982 648 896 258 114 764 517 786 088 042 337 626 617 859 374 124 630 171 516 464 928 318 444 095 473 188 864;
  • 33) 0,522 018 958 598 982 648 896 258 114 764 517 786 088 042 337 626 617 859 374 124 630 171 516 464 928 318 444 095 473 188 864 × 2 = 1 + 0,044 037 917 197 965 297 792 516 229 529 035 572 176 084 675 253 235 718 748 249 260 343 032 929 856 636 888 190 946 377 728;
  • 34) 0,044 037 917 197 965 297 792 516 229 529 035 572 176 084 675 253 235 718 748 249 260 343 032 929 856 636 888 190 946 377 728 × 2 = 0 + 0,088 075 834 395 930 595 585 032 459 058 071 144 352 169 350 506 471 437 496 498 520 686 065 859 713 273 776 381 892 755 456;
  • 35) 0,088 075 834 395 930 595 585 032 459 058 071 144 352 169 350 506 471 437 496 498 520 686 065 859 713 273 776 381 892 755 456 × 2 = 0 + 0,176 151 668 791 861 191 170 064 918 116 142 288 704 338 701 012 942 874 992 997 041 372 131 719 426 547 552 763 785 510 912;
  • 36) 0,176 151 668 791 861 191 170 064 918 116 142 288 704 338 701 012 942 874 992 997 041 372 131 719 426 547 552 763 785 510 912 × 2 = 0 + 0,352 303 337 583 722 382 340 129 836 232 284 577 408 677 402 025 885 749 985 994 082 744 263 438 853 095 105 527 571 021 824;
  • 37) 0,352 303 337 583 722 382 340 129 836 232 284 577 408 677 402 025 885 749 985 994 082 744 263 438 853 095 105 527 571 021 824 × 2 = 0 + 0,704 606 675 167 444 764 680 259 672 464 569 154 817 354 804 051 771 499 971 988 165 488 526 877 706 190 211 055 142 043 648;
  • 38) 0,704 606 675 167 444 764 680 259 672 464 569 154 817 354 804 051 771 499 971 988 165 488 526 877 706 190 211 055 142 043 648 × 2 = 1 + 0,409 213 350 334 889 529 360 519 344 929 138 309 634 709 608 103 542 999 943 976 330 977 053 755 412 380 422 110 284 087 296;
  • 39) 0,409 213 350 334 889 529 360 519 344 929 138 309 634 709 608 103 542 999 943 976 330 977 053 755 412 380 422 110 284 087 296 × 2 = 0 + 0,818 426 700 669 779 058 721 038 689 858 276 619 269 419 216 207 085 999 887 952 661 954 107 510 824 760 844 220 568 174 592;
  • 40) 0,818 426 700 669 779 058 721 038 689 858 276 619 269 419 216 207 085 999 887 952 661 954 107 510 824 760 844 220 568 174 592 × 2 = 1 + 0,636 853 401 339 558 117 442 077 379 716 553 238 538 838 432 414 171 999 775 905 323 908 215 021 649 521 688 441 136 349 184;
  • 41) 0,636 853 401 339 558 117 442 077 379 716 553 238 538 838 432 414 171 999 775 905 323 908 215 021 649 521 688 441 136 349 184 × 2 = 1 + 0,273 706 802 679 116 234 884 154 759 433 106 477 077 676 864 828 343 999 551 810 647 816 430 043 299 043 376 882 272 698 368;
  • 42) 0,273 706 802 679 116 234 884 154 759 433 106 477 077 676 864 828 343 999 551 810 647 816 430 043 299 043 376 882 272 698 368 × 2 = 0 + 0,547 413 605 358 232 469 768 309 518 866 212 954 155 353 729 656 687 999 103 621 295 632 860 086 598 086 753 764 545 396 736;
  • 43) 0,547 413 605 358 232 469 768 309 518 866 212 954 155 353 729 656 687 999 103 621 295 632 860 086 598 086 753 764 545 396 736 × 2 = 1 + 0,094 827 210 716 464 939 536 619 037 732 425 908 310 707 459 313 375 998 207 242 591 265 720 173 196 173 507 529 090 793 472;
  • 44) 0,094 827 210 716 464 939 536 619 037 732 425 908 310 707 459 313 375 998 207 242 591 265 720 173 196 173 507 529 090 793 472 × 2 = 0 + 0,189 654 421 432 929 879 073 238 075 464 851 816 621 414 918 626 751 996 414 485 182 531 440 346 392 347 015 058 181 586 944;
  • 45) 0,189 654 421 432 929 879 073 238 075 464 851 816 621 414 918 626 751 996 414 485 182 531 440 346 392 347 015 058 181 586 944 × 2 = 0 + 0,379 308 842 865 859 758 146 476 150 929 703 633 242 829 837 253 503 992 828 970 365 062 880 692 784 694 030 116 363 173 888;
  • 46) 0,379 308 842 865 859 758 146 476 150 929 703 633 242 829 837 253 503 992 828 970 365 062 880 692 784 694 030 116 363 173 888 × 2 = 0 + 0,758 617 685 731 719 516 292 952 301 859 407 266 485 659 674 507 007 985 657 940 730 125 761 385 569 388 060 232 726 347 776;
  • 47) 0,758 617 685 731 719 516 292 952 301 859 407 266 485 659 674 507 007 985 657 940 730 125 761 385 569 388 060 232 726 347 776 × 2 = 1 + 0,517 235 371 463 439 032 585 904 603 718 814 532 971 319 349 014 015 971 315 881 460 251 522 771 138 776 120 465 452 695 552;
  • 48) 0,517 235 371 463 439 032 585 904 603 718 814 532 971 319 349 014 015 971 315 881 460 251 522 771 138 776 120 465 452 695 552 × 2 = 1 + 0,034 470 742 926 878 065 171 809 207 437 629 065 942 638 698 028 031 942 631 762 920 503 045 542 277 552 240 930 905 391 104;
  • 49) 0,034 470 742 926 878 065 171 809 207 437 629 065 942 638 698 028 031 942 631 762 920 503 045 542 277 552 240 930 905 391 104 × 2 = 0 + 0,068 941 485 853 756 130 343 618 414 875 258 131 885 277 396 056 063 885 263 525 841 006 091 084 555 104 481 861 810 782 208;
  • 50) 0,068 941 485 853 756 130 343 618 414 875 258 131 885 277 396 056 063 885 263 525 841 006 091 084 555 104 481 861 810 782 208 × 2 = 0 + 0,137 882 971 707 512 260 687 236 829 750 516 263 770 554 792 112 127 770 527 051 682 012 182 169 110 208 963 723 621 564 416;
  • 51) 0,137 882 971 707 512 260 687 236 829 750 516 263 770 554 792 112 127 770 527 051 682 012 182 169 110 208 963 723 621 564 416 × 2 = 0 + 0,275 765 943 415 024 521 374 473 659 501 032 527 541 109 584 224 255 541 054 103 364 024 364 338 220 417 927 447 243 128 832;
  • 52) 0,275 765 943 415 024 521 374 473 659 501 032 527 541 109 584 224 255 541 054 103 364 024 364 338 220 417 927 447 243 128 832 × 2 = 0 + 0,551 531 886 830 049 042 748 947 319 002 065 055 082 219 168 448 511 082 108 206 728 048 728 676 440 835 854 894 486 257 664;
  • 53) 0,551 531 886 830 049 042 748 947 319 002 065 055 082 219 168 448 511 082 108 206 728 048 728 676 440 835 854 894 486 257 664 × 2 = 1 + 0,103 063 773 660 098 085 497 894 638 004 130 110 164 438 336 897 022 164 216 413 456 097 457 352 881 671 709 788 972 515 328;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


4. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459(10) =

0,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2)

5. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2)

6. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 1 poziții la stânga, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459(10) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2) =

11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011 0000 1(2) × 20 =

1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01(2) × 21


7. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 0 (un număr pozitiv)

Exponent (neajustat): 1

Mantisă (nenormalizată):
1,1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01


8. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

1 + 2(11-1) - 1 =

(1 + 1 023)(10) =

1 024(10)


9. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 024 : 2 = 512 + 0;
  • 512 : 2 = 256 + 0;
  • 256 : 2 = 128 + 0;
  • 128 : 2 = 64 + 0;
  • 64 : 2 = 32 + 0;
  • 32 : 2 = 16 + 0;
  • 16 : 2 = 8 + 0;
  • 8 : 2 = 4 + 0;
  • 4 : 2 = 2 + 0;
  • 2 : 2 = 1 + 0;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

10. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1024(10) =

100 0000 0000(2)


11. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (dacă măcar unul din acești biți în exces e setat pe 1, se pierde din precizie...).


Mantisă (normalizată) =

1. 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000 01 =

1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


12. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
0 (un număr pozitiv)

Exponent (11 biți) =
100 0000 0000

Mantisă (52 biți) =
1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000


Numărul zecimal 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 459 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

0 - 100 0000 0000 - 1001 0010 0001 1111 1011 0101 0100 0100 0100 0010 1101 0001 1000

Distribuie

» Scriere 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 536 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100